岡山大学 2025年度 前期文系数学 第2問

(1)
$s=\sin \theta$ とおくと，$-1\leqq s\leqq 1$ であり，$$f(\theta )=\cos 2\theta +x\sin \theta -y-1=-2s^2+xs-y$$である。この二次関数の軸は $$s=\frac{x}{4}$$ である。

$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 4$ のとき，軸が区間 $[-1,1]$ に入るので最大値は$$\frac{x^2}{8}-y$$である。$x>4$ のときは $s=1$ で最大となり，最大値は$$x-y-2$$である。$x<-4$ のときは $s=-1$ で最大となり，最大値は$$-x-y-2$$である。

(2)
すべての $\theta$ について $f(\theta )<0$ となる条件は，(1)で求めた最大値が負であることである。したがって求める領域は$$\{\begin{array}{ll}y>{\displaystyle \frac{x^2}{8}}& (-4\leqq x\leqq 4),\\ y>x-2& (x>4),\\ y>-x-2& (x<-4)\end{array}$$で表される。境界は点 $(-4,2),(4,2)$ を通る放物線 $$y=\frac{x^2}{8}$$ の弧と，その両端から出る直線 $y=-x-2$，$y=x-2$ であり，境界は含まない。その上側全体が求める領域である。

境界はいずれも含まず，次図の網掛け部分が求める領域である。