岡山大学 2025年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

垂直二等分線を $A, P$ から等距離の点の集合として求める。交点 $Q$ は直線 $O P$ 上にあるので $Q = t P$ とおき， $P$ が円上にある条件を使って $a, b, t$ を消去する。最後にパラメータの範囲を戻して双曲線の枝を確定する。

解答

(1)
$l_{P}$ 上の点を $(x, y)$ とすると， $A (4, 0)$ と $P (a, b)$ から等距離であるから $(x - 4)^{2} + y^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ である。 $a^{2} + b^{2} = 4$ を用いて整理すると $(a - 4) x + b y + 6 = 0$ となる。これが求める直線の方程式である。

(2)
直線 $O P$ の方向ベクトルは $(a, b)$ ，直線 $l_{P}$ の法線ベクトルは $(a - 4, b)$ である。両直線が平行である条件は $a (a - 4) + b^{2} = 0$ である。 $a^{2} + b^{2} = 4$ より $4 - 4 a = 0$ となるので， $a = 1$ である。したがって $b = \pm \sqrt{3}$ であり， $P = (1, \sqrt{3}), (1, - \sqrt{3})$ である。

(3)
交点を $Q$ とし， $Q = t (a, b)$ とおく。 $Q$ が $l_{P}$ 上にあるから $t {a (a - 4) + b^{2}} + 6 = 0$ である。 $a^{2} + b^{2} = 4$ より $4 t (1 - a) + 6 = 0, すなわち t = \frac{3}{2 (a - 1)}$ である。ここで $a \neq 1$ は交点をもつ条件である。

$Q = (X, Y)$ と書くと， $X = t a, Y = t b$ であり，前式から $t = X - \frac{3}{2}$ である。また $a^{2} + b^{2} = 4$ より $X^{2} + Y^{2} = 4 t^{2}$ であるから $X^{2} + Y^{2} = (2 X - 3)^{2}$ を得る。したがって軌跡の方程式は $Y^{2} = 3 (X - 1) (X - 3)$ である。

さらに $a$ が $[- 2, 1)$ を動くと $X = \frac{3 a}{2 (a - 1)}$ は $X ≦ 1$ を動き， $a$ が $(1, 2]$ を動くと $X ≧ 3$ を動く。よって図示すべき軌跡は，双曲線 $Y^{2} = 3 (X - 1) (X - 3)$ のうち， $X ≦ 1$ および $X ≧ 3$ の2つの枝である。頂点は $(1, 0), (3, 0)$ ，漸近線は $Y = \pm \sqrt{3} (X - 2)$ である。

標準形は $(X - 2)^{2} - \frac{Y^{2}}{3} = 1$ であり，中心 $(2, 0)$ ，頂点 $(1, 0), (3, 0)$ ，漸近線 $Y = \pm \sqrt{3} (X - 2)$ の双曲線である。

総評

【公式出題意図・解答例との対応】公式は，円と直線の方程式，2直線の平行条件，条件を満たす点の軌跡を求めて双曲線を正しく図示できるかを確認する問題としている。公式の $(a - 4) x + b y = - 6$ ， $P = (1, \pm \sqrt{3})$ ， $(X - 2)^{2} - Y^{2} / 3 = 1$ と一致する。

難度5，計算量5。想定時間は18分程度。軌跡の方程式だけでなく， $a = 1$ では交点をもたないことを元のパラメータに戻し， $X ≦ 1$ または $X ≧ 3$ の2枝を示す。

【別解監査】直線 $O P$ を傾きで表す方法は $a = 0$ などの例外処理が増える。 $Q = t P$ とする解法が座標の全場合を一括して扱えるため標準解法に採用した。

【独立検算】円周上の2000点から $Q$ を生成し，全点が双曲線方程式と枝の範囲を満たすことを確認した。

出典: 岡山大学 2025年度一般選抜（前期日程）数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

岡山大学 2025年度 前期理系数学 第3問

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岡山大学 2025年度前期理系数学第3問