岡山大学 2025年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に点 $O (0, 0),$ $A (4, 0),$ 円 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 上を動く点 $P (a, b)$ があるとする．各点 $P$ に対して，線分 $A P$ の垂直二等分線を $l_{P}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線 $l_{P}$ の方程式を求めよ．

(2)　直線 $O P$ と $l_{P}$ が平行であるとき， $P$ の座標を求めよ．

(3)　直線 $O P$ と $l_{P}$ が交点をもつとき，交点 $Q$ の軌跡の方程式を求め，さらにその軌跡を図示せよ．

出典：岡山大学 2025年度前期理系第3問

垂直二等分線を $A, P$ から等距離の点の集合として求める。交点 $Q$ は直線 $O P$ 上にあるので $Q = tP$ とおき， $P$ が円上にある条件を使って $a, b, t$ を消去する。最後にパラメータの範囲を戻して双曲線の枝を確定する。

$l_{P}$ 上の点を $(x, y)$ とすると， $A (4, 0)$ と $P (a, b)$ から等距離であるから

(x - 4)^{2} + y^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

である。 $a^{2} + b^{2} = 4$ を用いて整理すると

(a - 4) x + b y + 6 = 0

となる。これが求める直線の方程式である。

直線 $O P$ の方向ベクトルは $(a, b)$ ，直線 $l_{P}$ の法線ベクトルは $(a - 4, b)$ である。両直線が平行である条件は

a (a - 4) + b^{2} = 0

である。 $a^{2} + b^{2} = 4$ より

4 - 4 a = 0

となるので， $a = 1$ である。したがって $b = \pm 3$ であり，

P = (1, 3), (1, - 3)

である。

交点を $Q$ とし， $Q = t (a, b)$ とおく。 $Q$ が $l_{P}$ 上にあるから

t {a (a - 4) + b^{2}} + 6 = 0

である。 $a^{2} + b^{2} = 4$ より

4 t (1 - a) + 6 = 0, すなわち t = \frac{3}{2 ( a - 1 )}

である。ここで $a \neq = 1$ は交点をもつ条件である。

$Q = (X, Y)$ と書くと， $X = t a, Y = t b$ であり，前式から

t = X - \frac{3}{2}

である。また $a^{2} + b^{2} = 4$ より $X^{2} + Y^{2} = 4 t^{2}$ であるから

X^{2} + Y^{2} = (2 X - 3)^{2}

を得る。したがって軌跡の方程式は

Y^{2} = 3 (X - 1) (X - 3)

である。

さらに $a$ が $[- 2, 1)$ を動くと $X = \frac{3 a}{2 ( a - 1 )}$ は $X ≦ 1$ を動き， $a$ が $(1, 2]$ を動くと $X ≧ 3$ を動く。よって図示すべき軌跡は，双曲線

Y^{2} = 3 (X - 1) (X - 3)

のうち， $X ≦ 1$ および $X ≧ 3$ の2つの枝である。頂点は $(1, 0), (3, 0)$ ，漸近線は $Y = \pm 3 (X - 2)$ である。

標準形は

(X - 2)^{2} - \frac{Y ^{2}}{3} = 1

であり，中心 $(2, 0)$ ，頂点 $(1, 0), (3, 0)$ ，漸近線 $Y = \pm 3 (X - 2)$ の双曲線である。