岡山大学 2025年度理系数学第4問解答・解説

問題

右図のように，三角形 $A B C$ の外側で頂点または辺上の点からの距離が $1$ 以内にある，長方形および扇形からなる領域を $Z$ とする．さらに， $A B = A C = 3$ とし， $∠ A B C = θ$ とおく．また， $Z$ の面積を $S_{1}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $S_{1}$ を求めよ．

(2)　三角形 $A B C$ の内接円の半径 $r (θ)$ を求めよ．

(3)　 $0 < θ ≦ \frac{π}{4}$ のとき，(2)の $r (θ)$ の最大値を求めよ．

(4)　(2)の内接円の面積を $S_{2}$ とする． $0 < θ ≦ \frac{π}{4}$ のとき， $S_{1} > S_{2}$ を示せ．

出典：岡山大学 2025年度前期理系第4問

方針

領域 $Z$ を3辺の外側に付く幅1の長方形と，3頂点の外側に付く扇形に分ける。内接円半径は三角形の面積を半周長で割り， $0 < θ ≦ π /4$ で微分して最大化する。最後は $r < 1$ を介して2つの面積を比較する。

解答

(1)

$A B = A C = 3$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = θ$ であるから

B C = 6 cos θ

である。領域 $Z$ は，3辺に沿う幅 $1$ の長方形と，3頂点の外側の扇形からなる。3つの外側扇形の中心角の和は $2 π$ であるから，半径1の扇形の面積の和は $\frac{1}{2} \cdot 2 π = π$ である。したがって

S_{1} = A B + B C + C A + π = 6 + 6 cos θ + π

である。

(2)

三角形 $A B C$ の面積は

\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C sin (π - 2 θ) = \frac{9}{2} sin 2 θ = 9 sin θ cos θ

である。また半周長は

\frac{3 + 3 + 6 cos θ}{2} = 3 (1 + cos θ)

である。よって内接円の半径は

r (θ) = \frac{9 sin θ cos θ}{3 ( 1 + cos θ )} = \frac{3 sin θ cos θ}{1 + cos θ}

である。

(3)

$f (θ) = \frac{sin θ cos θ}{1 + cos θ}$ とおく。微分すると

f^{'} (θ) = \frac{cos ^{3} θ + 2 cos ^{2} θ - 1}{( 1 + cos θ ) ^{2}}

である。 $0 < θ ≦ \frac{π}{4}$ では $\frac{2}{2} ≦ cos θ < 1$ であり，

cos^{3} θ + 2 cos^{2} θ - 1 > 0

であるから， $f (θ)$ は増加する。したがって最大は $θ = \frac{π}{4}$ のときで，

r (\frac{π}{4}) = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{1 + \frac{2}{2}} = \frac{3 ( 2 - 2 )}{2}

である。

(4)

(3)より， $0 < θ ≦ \frac{π}{4}$ では

0 < r (θ) ≦ \frac{3 ( 2 - 2 )}{2} < 1

である。よって

S_{2} = π r (θ)^{2} < π

である。一方，(1)より

S_{1} = 6 + 6 cos θ + π > π

であるから， $S_{1} > S_{2}$ が成り立つ。

岡山大学 2025年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

岡山大学 2025年度
理系数学第4問