大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $a_2$ を1つ決めると $a_1=n-2a_2$ と一意に決まる。$a_1$ が0以上であるためには $0\leqq n-2a_2$ すなわち $$0\leqq a_2\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}$$ であればよい。

したがって $a_2$ の取り方は $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor +1$ 通りである。よって $$X(n)=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor +1$$ である。偶奇で書けば $$X(2s)=s+1,X(2s+1)=s+1(s=0,1,2,\dots )$$ である。

(2) $a_3$ を固定して $a_3=j$ とおくと、残りの条件は $a_1+2a_2=N-3j$ である。したがって、そのときの $(a_1,a_2)$ の個数は $X(N-3j)$ である。ただし $N-3j\geqq 0$ でなければならない。ゆえに$$Y(N)=\sum _{\begin{array}{c}j\geqq 0\\ N-3j\geqq 0\end{array}}X(N-3j)$$である。

これを $N=3n,3n+1,3n+2$ に適用すると $$Y(3n)=X(3n)+X(3n-3)+\cdots +X(0),$$ $$Y(3n+1)=X(3n+1)+X(3n-2)+\cdots +X(1),$$ $$Y(3n+2)=X(3n+2)+X(3n-1)+\cdots +X(2)$$ である。右辺に現れる添字は、それぞれ $3$ で割った余りが $0,1,2$ のものを集めたものである。したがって、3つを足すと $0,1,2,\dots ,3n+2$ がちょうど1回ずつ現れる。よって $$Y(3n)+Y(3n+1)+Y(3n+2)=\sum _{l=0}^{3n+2}X(l)$$ である。

次に右辺を計算する。 $n=2t$ のとき、$3n+2=6t+2$ である。ここで $6t+2=2(3t+1)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{l=0}^{6t+2}X(l)}& {\displaystyle =(1+1)+(2+2)+\cdots +((3t+1)+(3t+1))+(3t+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot {\displaystyle \frac{(3t+1)(3t+2)}{2}}+3t+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(3t+2{)}^2}\end{array}$$である。$n=2t$ を戻すと $$(3t+2{)}^2={\left({\displaystyle \frac{3n+4}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2}{4}}$$ である。 $n=2t+1$ のとき、$3n+2=6t+5$ である。ここで $6t+5=2(3t+2)+1$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{l=0}^{6t+5}X(l)}& {\displaystyle =(1+1)+(2+2)+\cdots +((3t+3)+(3t+3))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot {\displaystyle \frac{(3t+3)(3t+4)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(3t+3)(3t+4)}\end{array}$$である。$n=2t+1$ を戻すと $$(3t+3)(3t+4)={\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2-1}{4}}$$ である。

したがって右辺の値は$$\sum _{l=0}^{3n+2}X(l)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2}{4}}& (n\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2-1}{4}}& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。

3つの和が添字を重複なく覆う様子は次図で確認できる。

右辺の和を、$a_1+2a_2\leqq 3n+2$ を満たす格子点の個数と読み替える。$a_2$ を固定して等差数列を和にし、上端 $3n+2$ の偶奇、すなわち $n$ の偶奇で整理する。

(1) $$a_2=0,1,\dots ,\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor$$ の各場合に $a_1=n-2a_2$ がただ1つ定まるから$$X(n)=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{2}}\rfloor +1$$である。

(2) $Y(N)$ で $a_3=j$ を固定すれば残りは $X(N-3j)$ 通りである。$N=3n,3n+1,3n+2$ の3式を加えると、$X$ の添字は3つの剰余類に分かれて $0$ から $3n+2$ までをちょうど1回ずつ覆う。したがって$$Y(3n)+Y(3n+1)+Y(3n+2)=\sum _{l=0}^{3n+2}X(l)$$が成り立つ。

ここで一般に$$\sum _{l=0}^{N}X(l)$$は $a_1+2a_2\leqq N$ を満たす非負整数の組 $(a_1,a_2)$ の個数である。$a_2=j$ とすると $a_1$ は$$0,1,\dots ,N-2j$$の $N-2j+1$ 通りである。$M=\lfloor N\mathrm{/}2\rfloor$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{l=0}^{N}X(l)}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^M(N-2j+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(M+1)(N+1-M)\mathrm{.}}\end{array}$$$N=3n+2$ を代入する。$n$ が偶数なら $N$ も偶数で$$(M+1)(N+1-M)={\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$$n$ が奇数なら $N$ も奇数で$$(M+1)(N+1-M)={\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2-1}{4}}\mathrm{.}$$よって右辺は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2}{4}}& (n\text{ が偶数}),\\ {\displaystyle \frac{(3n+4{)}^2-1}{4}}& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。