大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

行列を$$A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -3& 4\end{array}\right)$$とおく。

(1) $P_1$ の位置ベクトルを$${\vec{p}}_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$$と書くと、$P_2$ の位置ベクトルは $A{\vec{p}}_1$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{P_1{P}_2}}& {\displaystyle =(A-I){\vec{p}}_1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -3& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x_1-y_1)\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)}\end{array}$$である。仮定より $x_1\mathrm{\ne }{y}_1$ なので、このベクトルは0ではない。よって $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ は、点 $P_1$ の位置によらず、常に$$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$に平行である。これは原点を通る直線 $3x+2y=0$ の方向である。

(2)

次の2つの計算が成り立つ。$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$である。 $(1,1)$ と $(2,-3)$ は平行でないので、$P_1$ の位置ベクトルは一意に$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$と表せる。このとき、変換を $n-1$ 回くり返すと$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+6^{n-1}\beta \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$である。

したがって$$\overrightarrow{P_1{P}_n}=\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=(6^{n-1}-1)\beta \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$である。一方、$n=2$ とすれば$$\overrightarrow{P_1{P}_2}=5\beta \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$である。ゆえに$$\overrightarrow{P_1{P}_n}={\displaystyle \frac{6^{n-1}-1}{5}}\overrightarrow{P_1{P}_2}$$である。

(3) $x_1\mathrm{\ne }{y}_1$ であるから、(1)の式より $$\overrightarrow{P_1{P}_2}\mathrm{\ne }\vec{0}$$ である。したがって上の分解では $\beta \mathrm{\ne }0$ である。

(2) より$${\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}={\displaystyle \frac{\alpha \mathrm{/}(6^{n-1}\beta )+2}{\alpha \mathrm{/}(6^{n-1}\beta )-3}}\mathrm{.}$$ここで $\beta \mathrm{\ne }0$ かつ $\alpha \mathrm{/}(6^{n-1}\beta )\to 0$ なので，数列は $-2\mathrm{/}3$ に収束する。

点列は定方向 $(2,-3)$ の一直線上に並び、隣り合う差は毎回6倍になる。

最初の差 $\vec{v}=\overrightarrow{P_1{P}_2}$ が方向 $(2,-3)$ をもち、変換で6倍されることを直接使う。隣接差を等比数列として足せば (2) が出て、その座標式から (3) の比の極限も分かる。

変換を表す行列を $A$ とする。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \vec{v}:=\overrightarrow{P_1{P}_2}}& {\displaystyle =(A-I)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x_1-y_1)\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$$x_1\mathrm{\ne }{y}_1$ より $\vec{v}\mathrm{\ne }\vec{0}$ であり、定直線 $3x+2y=0$ に平行である。

(2) $$A\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$$だから$$\overrightarrow{P_2{P}_3}=A\vec{v}=6\vec{v}\mathrm{.}$$同様に$$\overrightarrow{P_j{P}_{j+1}}=6^{j-1}\vec{v}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{P_1{P}_n}}& {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-1}\overrightarrow{P_j{P}_{j+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+6+\cdots +6^{n-2})\vec{v}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6^{n-1}-1}{5}}\overrightarrow{P_1{P}_2}\mathrm{.}}\end{array}$$(3) $c_n=(6^{n-1}-1)\mathrm{/}5$ とおくと$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+c_n(x_1-y_1)\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}={\displaystyle \frac{x_1+2c_n(x_1-y_1)}{y_1-3c_n(x_1-y_1)}}\mathrm{.}$$仮定により各分母は0でなく、また $x_1-y_1\mathrm{\ne }0$、$c_n\to \mathrm{\infty }$ である。分子・分母を $c_n(x_1-y_1)$ で割れば$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$$を得る。