大阪大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) 10円玉、50円玉の枚数をそれぞれ $x,y$ とする。$x+5y=5n$ であり、$y$ は $0,1,\dots ,n$ のいずれかである。各 $y$ に対して $x=5n-5y$ は一意に定まるので、方法は $n+1$ 通りである。

(2) 100円玉の枚数を $z$ とすると $0\le z\le n$ である。$z$ を固定したとき$$x+5y=10(n-z)$$だから、$y=0,1,\dots ,2(n-z)$ の $2(n-z)+1$ 通りである。よって全体は$$\sum _{z=0}^n\{2(n-z)+1\}=\sum _{k=0}^n(2k+1)=(n+1{)}^2$$通りである。

(3) 500円玉の枚数を $w$ とすると $0\le w\le 20$ である。$w$ を固定した残額は $10000-500w=100(100-5w)$ 円なので、(2)より方法は $(101-5w{)}^2$ 通りである。したがって総数は$$\sum _{w=0}^{20}(101-5w{)}^2\mathrm{.}$$$k=20-w$ と置き換えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=0}^{20}(5k+1{)}^2}& {\displaystyle =25\sum _{k=0}^{20}{k}^2+10\sum _{k=0}^{20}k+21}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =25\cdot 2870+10\cdot 210+21}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =73871.}\end{array}$$よって答えは (1) $n+1$ 通り、(2) $(n+1{)}^2$ 通り、(3) $73871$ 通りである。

50円玉の枚数を偶数・奇数に分けて数える。500円玉を固定した後も同じ数え方を用い、二重和を整理する。

(1)
$x+5y=5n$ であり、$y=0,1,\dots ,n$ ごとに $x$ が一意に決まるので $n+1$ 通りである。

(2)
$x+5y+10z=10n$ を考える。$y=2j$ のとき $z=0,\dots ,n-j$ の $n-j+1$ 通り、
$y=2j+1$ のとき $z=0,\dots ,n-j-1$ の $n-j$ 通りである。よって$$\sum _{j=0}^n(n-j+1)+\sum _{j=0}^{n-1}(n-j)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=(n+1{)}^2\mathrm{.}$$(3)
500円玉を $w$ 枚使うと $0\leqq w\leqq 20$ であり、残額は $100(100-5w)$ 円である。
(2)より方法数は $(101-5w{)}^2$ だから、$$\sum _{w=0}^{20}(101-5w{)}^2=\sum _{k=0}^{20}(5k+1{)}^2=25\cdot 2870+10\cdot 210+21=73871.$$