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上智大学 2022年度 TEAPスコア利用方式TEAP2数学（PM） 第3問

1から4までを1つずつ記した正四面体のさいころ T を用いてA，Bがゲームをする。各自が決められた回数まで T を振り，最後の目を得点とし，高得点を勝ちとする。同点ではBが勝つ。振り直すかどうかは各自が自分の勝率を最大にするよう選ぶ。Aが勝つ確率を p=(2k+1)/2n と表したときの k,n を，次の場合に求めよ。

(1) A，Bがそれぞれ1回ずつ振る。

(2) Aが先に1回振り，その得点を知ったBが2回まで振れる。

(3) Bの得点を知らずにAが2回まで振れ，次にBが1回振る。

(4) Bの得点を知らずにAが2回まで振れ，次にAの得点を知ったBが2回まで振れる。

(5) Bの得点を知らずにAが3回まで振れ，次にAの得点を知ったBが2回まで振れる。

難易度7/ 10計算量6/ 10目安26分

確率、場合の数　条件付き確率、逆算、場合分け

方針

最後の比較から逆向きに考える。Bは同点でも勝つため，Aの得点を知るBは再試行後の勝率と現状維持を比較する。Aも各目ごとに振り直した場合の期待勝率と比較して最適な目だけを保持する。

解答

(1) 16通りのうち A>B は6通りなので p=3/8=(2⋅1+1)/23。よって (k,n)=(1,3)。

(2) Aの目を a とすると，Bが2回とも a 未満となるときだけAが勝つ。したがってp={0+(1/4)2+(2/4)2+(3/4)2}/4=7/32 で，(k,n)=(3,5)。

(3) Aは最初の目が1，2なら振り直し，3，4なら保持する。よってp={3/8+3/8+1/2+3/4}/4=1/2 で，(k,n)=(0,1)。

(4) Aは最初の目が1，2なら振り直す。各初目に対する勝率は 7/32,7/32,1/4,9/16 なので p=5/16。よって (k,n)=(2,4)。

(5) Aは最初の目が1，2，3なら振り直す。各初目に対する勝率は 5/16,5/16,5/16,9/16 なので p=3/8。よって (k,n)=(1,3)。

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出典: 上智大学 2022年度 TEAP2数学（PM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。