上智大学 2021年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第1問

(1) 感染している事象をI，感染していない事象をNとする．

1回の検査について$$P(\text{陰性}\mid I)=0.8,P(\text{陽性}\mid I)=0.2$$,$$P(\text{陰性}\mid N)=0.9,P(\text{陽性}\mid N)=0.1$$であり，また$$P(I)=0.2,P(N)=0.8$$である．

2回とも陰性となる確率は$$P(--)=0.2\cdot {0.8}^2+0.8\cdot {0.9}^2=0.776$$である．このうち実際に感染している確率は$$P(I\cap --)=0.2\cdot {0.8}^2=0.128$$だから，求める確率は$$\frac{0.128}{0.776}=\frac{16}{97}$$である．

少なくとも1回は陽性で，しかも実際には感染していない確率は$$P(N\cap \text{少なくとも1回陽性})=0.8(1-{0.9}^2)=0.152$$である．また，少なくとも1回は陽性である確率は
$1-0.776=0.224$
だから，求める確率は$$\frac{0.152}{0.224}=\frac{19}{28}$$である．

(2)

${1230}_{(n)}=n^3+2n^2+3n$
である。$m=n+1$ とおくと $n=m-1$ だから$$n^3+2n^2+3n=m^3-m^2+2m-2=(m-1)m^2+1\cdot m+(m-2)$$.
したがって $(n+1)$ 進法での各桁は$$(n+1{)}^2\text{ の位}:n,(n+1{)}^1\text{ の位}:1,(n+1{)}^0\text{ の位}:n-1$$である。

(3) zを固定する．$$\frac{x^2}{z^2}+4z^4{y}^2\le 1$$より，まず
$4z^4{y}^2\le 1$
でなければならないから，整数yは y=0 に限られる．したがって$$\frac{x^2}{z^2}\le 1$$すなわち
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\le z$
である．

よって z=1,2,3,4 について，xの個数はそれぞれ 3,5,7,9 個である。したがって求める個数は
$3+5+7+9=24$
である．