問題
を3より大きな奇数とし，を満たす正の奇数の組の個数を考える。ただし，たとえば，のとき，ととは異なる組とみなす。
(1) のとき，を求めよ。
(2) のとき，の中に同じ奇数を2つ以上含む組の個数を求めよ。
(3) を満たす最小のを求めよ。
方針
解法1
正の奇数を 、、 とおき、正の整数 の和の問題へ変換する。 では なので、(1) は仕切りの入れ方で数える。(2) は「同じ奇数を2つ以上含む」を 、、 の和集合として包除で数える。(3) は一般の について とおき、 と を比較する。
解法2
正の奇数を直接 、、 と表し、非負整数の和として数える。(2) は重なる値を先に決め、3数がすべて等しい場合だけ並べ方が1通りになることを分離する。(3) は を直接 と比較する。
解答
解法1
(1)
は正の奇数なので とおける。ただし は正の整数である。 のとき より となる。
正の整数 で をみたすものの個数は、 個を3つの正の部分に分ける仕切りの入れ方なので である。したがって である。
(2)
の中に同じ奇数を2つ以上含むことは、 の中に同じ整数を2つ以上含むことと同値である。
まず の場合を数える。このとき であり、 が正の整数となるには であればよい。よって 通りである。同様に、、 の場合もそれぞれ 通りである。
ただし、 の場合は3つの集合すべてに含まれる。 より の1通りである。したがって包除原理により、少なくとも2つが等しいものの個数は である。
(3)
一般の について とおく。 は3より大きい奇数なので、 は 以上の整数であり、 となる。よって である。また である。
条件 は であり、整理すると となる。 で順に調べると、 では成り立たず、 では となって初めて成り立つ。したがって最小の は であり、 である。
解法2
(1)
正の奇数を
と表す。ただし は非負整数である。 のとき
だから、仕切りを2本入れる数え方により
である。
(2)
たとえば とすると、残りは である。これが正の奇数となるのは
の25通りである。このうち のときだけ となり、3数がすべて等しい。
の24通りでは、異なる1数を置く位置が3通りある。一方、 は1通りだけである。したがって
通りである。この数え方なら、全要素が等しい組を3回数える重複を初めから避けられる。
(3)
一般の奇数 に対し
であるから
よって
左辺は で単調に増加し、 では 、 では である。したがって条件を満たす最小の奇数は
である。