東北大学 2025年度文理共通数学文系第2問・理系第2問解答・解説

問題

正の実数からなる2つの数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ を次のように定める。

x_{1} = 2, y_{1} = \frac{1}{2}, x_{n + 1} = (x_{n})^{5} \cdot (y_{n})^{2}, y_{n + 1} = x_{n} \cdot (y_{n})^{6}

このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $k$ を実数とする。 $a_{n} = lo g_{2} x_{n}, b_{n} = lo g_{2} y_{n}$ とおく。このとき，数列 ${a_{n} + k b_{n}}$ が等比数列になるような $k$ の値をすべて求めよ。

(2) 数列 ${x_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：東北大学 2025年度前期日程第2次学力試験文理共通文系第2問・理系第2問

方針

解法1（最初の3項で必要性を示す）

対数で連立一次漸化式に直す。(1) は特定の初期値から始まる数列なので、形式的な係数比較だけではなく、最初の3項が等比数列の条件を満たすことから候補を絞り、その各候補が全項で十分であることを確認する。(2) は $a_{n} - b_{n}$ と $a_{n} + 2 b_{n}$ の2本の等比数列を連立する。

解法2（2階漸化式へ帰着）

(1) は最初の3項に等比条件を課し、候補 $k = 2, - 1$ を得て十分性を直接確認する。(2) は $b_{n}$ を消去して $a_{n}$ の2階線形漸化式を作り、特性方程式で解く。

解答

解法1（最初の3項で必要性を示す）

(1)

$x_{n}, y_{n} > 0$ なので

a_{n} = lo g_{2} x_{n}, b_{n} = lo g_{2} y_{n}

とおける。漸化式の対数をとると

a_{n + 1} = 5 a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + 6 b_{n}

である。初期値は $(a_{1}, b_{1}) = (1, - 1)$ だから

(a_{2}, b_{2}) = (3, - 5), (a_{3}, b_{3}) = (5, - 27)

となる。

$c_{n} = a_{n} + k b_{n}$ とおくと

c_{1} = 1 - k, c_{2} = 3 - 5 k, c_{3} = 5 - 27 k .

まず $k = 1$ なら $c_{1} = 0, c_{2} = - 2$ であり、公比 $r$ に対して $c_{2} = r c_{1}$ とならないので等比数列ではない。 $k \neq = 1$ のとき、等比数列であるためには少なくとも

c_{2}^{2} = c_{1} c_{3}

が必要である。したがって

0 = (3 - 5 k)^{2} - (1 - k) (5 - 27 k) = - 2 (k - 2) (k + 1)

より $k = 2, - 1$ に限られる。

逆に $k = 2$ なら

a_{n + 1} + 2 b_{n + 1} = 7 (a_{n} + 2 b_{n})

なので公比7の等比数列である。また $k = - 1$ なら

a_{n + 1} - b_{n + 1} = 4 (a_{n} - b_{n})

なので公比4の等比数列である。よって必要十分な $k$ は

k = 2, - 1

である。

(2)

上で得た2本の等比数列の初項は

a_{1} + 2 b_{1} = - 1, a_{1} - b_{1} = 2

であるから

a_{n} + 2 b_{n} = - 7^{n - 1}, a_{n} - b_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1} .

後者を2倍して前者と加えると

3 a_{n} = 4 \cdot 4^{n - 1} - 7^{n - 1} = 4^{n} - 7^{n - 1} .

したがって

a_{n} = \frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}, x_{n} = 2^{a_{n}} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}}

である。 $n = 1$ を代入すると $x_{1} = 2$ となり、初期値とも一致する。

解法2（2階漸化式へ帰着）

(1)

$(a_{1}, b_{1}) = (1, - 1)$ 、 $(a_{2}, b_{2}) = (3, - 5)$ 、 $(a_{3}, b_{3}) = (5, - 27)$ である。 $c_{n} = a_{n} + k b_{n}$ とおけば

c_{1} = 1 - k, c_{2} = 3 - 5 k, c_{3} = 5 - 27 k .

$k = 1$ は $c_{1} = 0, c_{2} \neq = 0$ なので不適である。それ以外では $c_{2}^{2} = c_{1} c_{3}$ が必要で、

(3 - 5 k)^{2} = (1 - k) (5 - 27 k)

を解くと $k = 2, - 1$ を得る。実際

a_{n + 1} + 2 b_{n + 1} = 7 (a_{n} + 2 b_{n}), a_{n + 1} - b_{n + 1} = 4 (a_{n} - b_{n})

なので、どちらも十分である。

(2)

第一の漸化式から

2 b_{n} = a_{n + 1} - 5 a_{n}

である。また

a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} + 2 b_{n + 1} = 5 a_{n + 1} + 2 a_{n} + 12 b_{n} = 11 a_{n + 1} - 28 a_{n} .

初期値は $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ である。特性方程式

λ^{2} - 11 λ + 28 = (λ - 4) (λ - 7) = 0

より

a_{n} = A 4^{n - 1} + B 7^{n - 1} .

$A + B = 1, 4 A + 7 B = 3$ を解くと $A = 4/3, B = - 1/3$ であるから

a_{n} = \frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}, x_{n} = 2^{\frac{4 ^{n} - 7 ^{n - 1}}{3}} .

この式は元の初期値と漸化式から導いたので全ての自然数 $n$ に対して成り立つ。

東北大学 2025年度文理共通数学 文系第2問・理系第2問

問題

方針

解法1（最初の3項で必要性を示す）

解法2（2階漸化式へ帰着）

解答

解法1（最初の3項で必要性を示す）

(1)

(2)

解法2（2階漸化式へ帰着）

(1)

(2)

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文理共通数学文系第2問・理系第2問