横浜国立大学 2015年度 前期理系数学 第4問

(1) 初項を $n$，項数を $m(m\geqq 2)$ とすると$$2020=\frac{m(2n+m-1)}{2}$$である。したがって$$4040=m(2n+m-1)$$であり，$n\geqq 1$ より $2n+m-1>m$ である。$4040=2^3\cdot 5\cdot 101$ であるから，$$m<\sqrt{4040}$$ をみたす約数は$$1,2,4,5,8,10,20,40$$である。このうち $m\geqq 2$ で，$n=(4040\mathrm{/}m-m+1)\mathrm{/}2$ が自然数となるものは$$m=5,8,40$$である。よって$$2020=402+403+404+405+406,$$$$2020=249+250+\cdots +256,$$$$2020=31+32+\cdots +70$$である。

(2) $2^a$ が $m(m\geqq 2)$ 個の連続する自然数の和で表せたと仮定すると$$2^{a+1}=m(2n+m-1)$$である。$m$ と $2n+m-1$ は偶奇が逆である。右辺が2の累乗であるためには，奇数の因数が $1$ でなければならない。$m$ が奇数なら $m=1$ となり $m\geqq 2$ に反する。$m$ が偶数なら $2n+m-1\geqq 3$ であるから，これも $1$ にならない。したがって $2^a$ は2個以上の連続する自然数の和で表せない。

(3) $b<2^a$ のとき，$2b+1$ 個の連続する自然数$$2^a-b,2^a-b+1,\dots ,2^a+b$$を考える。これはすべて自然数で，和は $2^a(2b+1)$ である。

$b\geqq 2^a$ のとき，$2^{a+1}$ 個の連続する自然数$$b-2^a+1,b-2^a+2,\dots ,b+2^a$$を考える。これもすべて自然数であり，平均は $b+{\displaystyle \frac{1}{2}}$，項数は $2^{a+1}$ だから，和は$$2^{a+1}(b+\frac{1}{2})=2^a(2b+1)$$である。以上より，$2^a(2b+1)$ は2個以上の連続する自然数の和で表せる。