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横浜国立大学 2015年度 前期理系数学 第3問

実数 a に対し，xy 平面上の放物線 C:y=(x−a)2−2a2+1 を考える．次の問いに答えよ．

(1) a がすべての実数を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．

(2) a が −1≦a≦1 の範囲を動くとき，C が通過する領域を求め，図示せよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安20分

図形と方程式、関数　パラメータ処理、範囲評価、グラフの概形、場合分け

方針

(1) 方程式を a について平方完成し，固定した x に対して y の最大値を求める。(2) も固定した x で a∈[−1,1] の範囲における (a+x)2 の最小値と最大値を調べ，上下の境界を場合分けで表す。

解答

(1) y=(x−a)2−2a2+1=2x2+1−(a+x)2である。a がすべての実数を動くとき，固定した x に対して (a+x)2 は 0 以上のすべての値をとれる。したがって通過する領域はy≦2x2+1である。

(2) 同じくy=2x2+1−(a+x)2である。−1≦a≦1 のもとで，(a+x)2 の最小値は，−x が区間 [−1,1] に入るかどうかで決まる。したがって上側の境界は{2x2+1(∣x∣≦1),x2+2∣x∣(∣x∣≧1)である。一方，(a+x)2 の最大値は区間の端点で生じるので，下側の境界はx2−2∣x∣である。よって通過する領域はx2−2∣x∣≦y≦{2x2+1(∣x∣≦1),x2+2∣x∣(∣x∣≧1)である。

別解

解法2

方針

通過点 (x,y) を固定し，放物線の式をパラメータ a についての2次方程式とみる。(1)は実数解条件を判別式で表す。(2)は方程式を (a+x)2=2x2+1−y と直し，a∈[−1,1] のときの ∣a+x∣ の値域から上下の境界を同時に得る。

解答

(1)
点 (x,y) を通る放物線 C が存在するための条件を考える。与式を a について整理するとa2+2xa+(y−x2−1)=0.これが実数解をもつための必要十分条件は，判別式よりΔ=(2x)2−4(y−x2−1)=4(2x2+1−y)≧0.したがって通過領域はy≦2x2+1であり，境界上では重解 a=−x をもつ。

(2)
方程式を平方完成すると(a+x)2=2x2+1−y.a が [−1,1] を動くとき，∣a+x∣ の最小値と最大値はそれぞれm={0(∣x∣≦1),∣x∣−1(∣x∣≧1),M=∣x∣+1である。したがって，条件を満たす a∈[−1,1] が存在するための必要十分条件はm2≦2x2+1−y≦M2である。右側の不等式からy≧2x2+1−(∣x∣+1)2=x2−2∣x∣,左側の不等式からy≦{2x2+1(∣x∣≦1),x2+2∣x∣(∣x∣≧1)を得る。よって通過領域はx2−2∣x∣≦y≦{2x2+1(∣x∣≦1),x2+2∣x∣(∣x∣≧1)である。

総評

難度6，計算量6。想定時間は20分程度。放物線群を固定した x における y の値域として見る方法と，通過点を固定してパラメータ a の2次方程式・判別式として見る方法の2通りを収録した。(2)では ∣a+x∣ の最小値が ∣x∣≦1 と ∣x∣≧1 で変わり，最大値は常に ∣x∣+1 となる。採点点は上下両方の境界を出し，境界の接続点 x=±1 を確かめ，領域を実際に図示することである。2枚の図では境界曲線・包含側・接続点を明示した。

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出典: 横浜国立大学 2015年度 前期 理工学部 数学 第3問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。