横浜国立大学 2017年度 前期文系数学 第2問

整数解を $m$ とする。定数項が $-5$ であるから、整数解 $m$ は $5$ の約数であり、$$m=\pm 1,\pm 5$$である。

3つの解を $m,r,s$ とすると、解と係数の関係より$$mrs=\frac{5}{a^2}$$である。残り2つの解の積 $rs$ は整数なので$$rs=\frac{5}{a^{2}m}$$が整数である。$m=\pm 1,\pm 5$ を考えると、いずれの場合も $a=1$ でなければならない。

よって方程式は$$x^3+b{x}^2-b^{2}x-5=0$$となる。$m=1$ を代入すると$$1+b-b^2-5=0$$すなわち $b^2-b+4=0$ となり、整数解はない。

$m=5$ を代入すると$$125+25b-5b^2-5=0$$より$$(b-8)(b+3)=0$$である。したがって $b=8,-3$ である。

$m=-1$ を代入すると$$-1+b+b^2-5=0$$より$$(b+3)(b-2)=0$$である。したがって $b=-3,2$ である。

$m=-5$ を代入すると$$b^2+5b-26=0$$となり、整数解はない。

候補は $b=8,-3,2$ である。$b=-3$ のとき$$x^3-3x^2-9x-5=(x-5)(x+1{)}^2$$となり、異なる3つの実数解をもたないので除く。$b=8$ のとき$$x^3+8x^2-64x-5=(x-5)(x^2+13x+1)$$であり、2次式の判別式は正である。$b=2$ のとき$$x^3+2x^2-4x-5=(x+1)(x^2+x-5)$$であり、2次式の判別式は正である。

以上より$$(a,b)=(1,8),(1,2)$$である。

整数解 $m$ と残り2根の積 $q$ を未知数として因数分解し，定数項と最高次係数から $mq=5\mathrm{/}{a}^2$ を使う。有限候補を直接代入し，判別式で3実根条件を確認する。

整数解を $m$，残り2根の積を整数 $q$ とする。定数項と最高次係数から$$mq=\frac{5}{a^2}\mathrm{.}$$左辺は整数だから $a^2$ は5を割る。$a$ は正の整数なので$$a=1.$$また整数根定理から $m=\pm 1,\pm 5$ である。方程式は$$x^3+b{x}^2-b^{2}x-5=0.$$各 $m$ を代入すると$$\begin{array}{cc}m& b\text{ の候補}\\ 1& \text{なし}\\ 5& 8,-3\\ -1& -3,2\\ -5& \text{なし}\end{array}$$となる。$b=-3$ では$$x^3-3x^2-9x-5=(x-5)(x+1{)}^2$$で重根をもつため除く。一方$$b=8:(x-5)(x^2+13x+1),$$$$b=2:(x+1)(x^2+x-5)$$で，いずれも2次因子の判別式が正かつ整数根とは異なる2根をもつ。よって$$(a,b)=(1,8),(1,2)\mathrm{.}$$