横浜国立大学 2017年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 経済学部
- 分野
- 三角関数、関数
- 解法
- 置換、範囲評価、微分による最大最小
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 15分
問題
x がすべての実数を動くとき、次の関数のとり得る値の範囲を求めよ。
(1) f(x)=sinx−cosx
(2) g(x)=2∣sin3x−cos3x∣+sinxcosx+sinx−cosx
出典：横浜国立大学 2017年度 前期 文系 第1問
方針
解法1
u=sinx−cosx とおくと −2≦u≦2 であり、sinxcosx と sin3x−cos3x が u だけで表せる。絶対値のため u≧0 と u≦0 に分け、各区間で増減を調べる。
解法2
u=sinx−cosx で一変数化した後，正の側の最大値は 3−g の因数分解で示す。負の側は v=−u とおき，端点と唯一の臨界点だけを比較する。
解答
解法1
(1)
であるから、とり得る値の範囲は
である。
(2)
u=sinx−cosx とおくと、−2≦u≦2 である。また
u2=1−2sinxcosx
より
sinxcosx=21−u2
である。さらに
sin3x−cos3x=(sinx−cosx)(1+sinxcosx)=2u(3−u2)
であり、3−u2>0 である。
よって
g=∣u∣(3−u2)+21−u2+u
である。0≦u≦2 では
g=−u3−21u2+4u+21
であり、導関数は
−3u2−u+4=−(u−1)(3u+4)
である。したがってこの範囲での最大値は u=1 のとき 3 である。
−2≦u≦0 では
g=u3−21u2−2u+21
であり、導関数は
3u2−u−2=(u−1)(3u+2)
である。この範囲での最小値は端点 u=−2 のときで、
g=−21
である。
以上より、とり得る値の範囲は
−21≦g(x)≦3
である。
解法2
(1)
より
(2)
u=sinx−cosx とおくと
−2≦u≦2,sinxcosx=21−u2,
sin3x−cos3x=2u(3−u2).
したがって
g=∣u∣(3−u2)+21−u2+u.
0≦u≦2 では
3−g=21(u−1)2(2u+5)≧0,
よって g≦3，等号は u=1 で成立する。またこの範囲では ∣u∣(3−u2)≧0，(1−u2)/2≧−1/2，u≧0 なので g≧−1/2 である。
−2≦u≦0 では v=−u とおけば
g=−v3−21v2+2v+21,0≦v≦2.
導関数は −(3v−2)(v+1) なので内部の臨界点は最大点であり，最小値は端点で比較すればよい。g(0)=1/2，g(2)=−1/2 だから
−21≦g(x)≦3.
