横浜国立大学 2017年度 前期文系数学 第1問

(1) $$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})$$であるから、とり得る値の範囲は$$-\sqrt{2}\leqq f(x)\leqq \sqrt{2}$$である。

(2)
$u=\sin x-\cos x$ とおくと、$$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ である。また$$u^2=1-2\sin x\cos x$$より$$\sin x\cos x=\frac{1-u^2}{2}$$である。さらに$${\sin }^{3}x-{\cos }^{3}x=(\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)=\frac{u(3-u^2)}{2}$$であり、$3-u^2>0$ である。

よって$$g=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }(3-u^2)+\frac{1-u^2}{2}+u$$である。$0\leqq u\leqq \sqrt{2}$ では$$g=-u^3-\frac{1}{2}{u}^2+4u+\frac{1}{2}$$であり、導関数は$$-3u^2-u+4=-(u-1)(3u+4)$$である。したがってこの範囲での最大値は $u=1$ のとき $3$ である。

$-\sqrt{2}\leqq u\leqq 0$ では$$g=u^3-\frac{1}{2}{u}^2-2u+\frac{1}{2}$$であり、導関数は$$3u^2-u-2=(u-1)(3u+2)$$である。この範囲での最小値は端点 $u=-\sqrt{2}$ のときで、$$g=-\frac{1}{2}$$である。

以上より、とり得る値の範囲は$$-\frac{1}{2}\leqq g(x)\leqq 3$$である。

$u=\sin x-\cos x$ で一変数化した後，正の側の最大値は $3-g$ の因数分解で示す。負の側は $v=-u$ とおき，端点と唯一の臨界点だけを比較する。

(1) $$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})$$より$$-\sqrt{2}\leqq f(x)\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$(2) $u=\sin x-\cos x$ とおくと$$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2},\sin x\cos x=\frac{1-u^2}{2},$$$${\sin }^{3}x-{\cos }^{3}x=\frac{u(3-u^2)}{2}\mathrm{.}$$したがって$$g=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }(3-u^2)+\frac{1-u^2}{2}+u\mathrm{.}$$$0\leqq u\leqq \sqrt{2}$ では$$3-g=\frac{1}{2}(u-1{)}^2(2u+5)\geqq 0,$$よって $g\leqq 3$，等号は $u=1$ で成立する。またこの範囲では $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }(3-u^2)\geqq 0$，$(1-u^2)\mathrm{/}2\geqq -1\mathrm{/}2$，$u\geqq 0$ なので $g\geqq -1\mathrm{/}2$ である。

$-\sqrt{2}\leqq u\leqq 0$ では $v=-u$ とおけば$$g=-v^3-\frac{1}{2}{v}^2+2v+\frac{1}{2},0\leqq v\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$導関数は $-(3v-2)(v+1)$ なので内部の臨界点は最大点であり，最小値は端点で比較すればよい。$g(0)=1\mathrm{/}2$，$g(\sqrt{2})=-1\mathrm{/}2$ だから$$-\frac{1}{2}\leqq g(x)\leqq 3.$$