広島大学 2019年度文理共通数学第1問解答・解説

問題

$a > 0,$ $r > 0$ とし，数列 ${a_{n}}$ を初項 $a,$ 公比 $r$ の等比数列とする．また，数列 ${b_{n}}$ は次のように定義される． $b_{1} = a_{1},$ $b_{n + 1} = b_{n} a_{n + 1}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ 次の問いに答えよ．

(1) $b_{n}$ を $a ， r$ および $n$ を用いて表せ．

(2) 一般項が $c_{n} = \frac{l o g _{2} b _{n}}{n}$ である数列 ${c_{n}}$ は等差数列であることを証明せよ．

(3) (2)で与えられた数列 ${c_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの平均を $M_{n}$ とする．すなわち， $M_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} c_{k}$ とする．このとき，一般項が $d_{n} = 2^{M_{n}}$ である数列 ${d_{n}}$ は等比数列であることを証明せよ．

出典：広島大学 2019年度前期文理共通第1問

方針

解法1

$b_{n}$ は $a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ であることを帰納的に読み取り，等比数列の指数和を計算する。 $c_{n}$ は対数を用いて一次式に直し， $M_{n}$ は等差数列の平均が初項と第 $n$ 項の平均になることから求める。

解法2

各項そのものではなく、最初から底2の対数をとる。 $A = lo g_{2} a$ 、 $R = lo g_{2} r$ とおけば、積の漸化式は和の漸化式に変わり、 $c_{n}, M_{n}, d_{n}$ を一続きで求められる。

解答

解法1

(1)

定義より $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n + 1} = b_{n} a_{n + 1}$ であるから，帰納的に

b_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}

である。ここで $a_{k} = a r^{k - 1}$ だから

b_{n} = a^{n} r^{0 + 1 + \dots + (n - 1)} = a^{n} r^{\frac{n ( n - 1 )}{2}}

である。

(2)

(1)より

lo g_{2} b_{n} = n lo g_{2} a + \frac{n ( n - 1 )}{2} lo g_{2} r

である。したがって

c_{n} = lo g_{2} a + \frac{n - 1}{2} lo g_{2} r

となり， $c_{n + 1} - c_{n} = \frac{1}{2} lo g_{2} r$ は $n$ によらず一定である。よって ${c_{n}}$ は等差数列である。

(3)

${c_{n}}$ は等差数列であるから，初項から第 $n$ 項までの平均は

M_{n} = \frac{c _{1} + c _{n}}{2} = lo g_{2} a + \frac{n - 1}{4} lo g_{2} r

である。ゆえに

d_{n} = 2^{M_{n}} = a r^{\frac{n - 1}{4}}

である。したがって

\frac{d _{n + 1}}{d _{n}} = r^{\frac{1}{4}}

は一定であり， ${d_{n}}$ は等比数列である。

解法2

(1)

$A = lo g_{2} a$ 、 $R = lo g_{2} r$ 、 $B_{n} = lo g_{2} b_{n}$ とおく。 $a_{n + 1} = a r^{n}$ だから

B_{n + 1} = B_{n} + lo g_{2} a_{n + 1} = B_{n} + A + n R, B_{1} = A .

したがって

B_{n} = n A + \frac{n ( n - 1 )}{2} R .

指数に戻して

b_{n} = 2^{B_{n}} = a^{n} r^{n (n - 1) /2} .

(2)

c_{n} = \frac{B _{n}}{n} = A + \frac{n - 1}{2} R .

よって

c_{n + 1} - c_{n} = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} lo g_{2} r

は一定であり、 ${c_{n}}$ は等差数列である。

(3)

一般項を直接平均すると

M_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (A + \frac{k - 1}{2} R) = A + \frac{n - 1}{4} R .

したがって

d_{n} = 2^{M_{n}} = a r^{(n - 1) /4}, \frac{d _{n + 1}}{d _{n}} = r^{1/4} .

公比が $n$ によらないので、 ${d_{n}}$ は初項 $a$ 、公比 $r^{1/4}$ の等比数列である。

広島大学 2019年度文理共通数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2019年度
文理共通数学第1問