問題
原点をとする座標平面上において，点および軸上の正の部分を動く点があり，は鈍角でないとする．の垂心を頂点から辺に下ろした垂線と辺との交点を頂点から辺に下ろした垂線と辺との交点をとする．次の問いに答えよ．ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした本の垂線は点で交わることが知られている．その交点のことを，三角形の垂心という．
(1) が直角となるの値を求めよ．
(2) 点の座標をを用いて表せ．以下では，が(1)で求めた値よりも大きい値をとるとする．
(3) 点がの内心であることを証明せよ．ただし，組の対角の和がである四角形は円に内接することを，証明なしに利用してもよい．
(4) の内接円の半径をの関数として表せ．
(5) (4)で求めた関数は最大値をもつことを示せ．ただし，最大値を与えるの値を求める必要はない．
方針
解法1
(1)から(4)までは垂心・垂足を座標で求め，三辺への距離の一致から内心と内接円半径を出す。(5) は を調べ， と で に近づくことから，正の値をとる閉区間上で最大値をもつことを示す。
解法2
(1)から(4)までは三辺の方程式をそろえ、内心条件を「内部にあり、三辺から等距離」として確認する。(5)では とおき、 の対数微分の符号を3次式の増減へ帰着させる。
解答
解法1
(1)
， である。直角条件は
であるから， より である。
(2)
は 軸上にあるので， から に下ろす垂線は 軸である。また の傾きは だから， を通り に垂直な直線は である。よって垂心は
である。
(3)
とする。垂足は
である。点 から直線 ，直線 ，直線 までの距離はいずれも
となる。また のとき は 軸の下側， は上側にあり， は の内部にある。したがって は三辺から等距離にある内部の点であり， の内心である。
(4)
内接円の半径を とすると，(3)の共通距離より
である。
(5)
で である。また
であるから， が に右から近づくと は に近づき， が限りなく大きくなるときも は に近づく。
一方，例えば では である。したがって， に十分近い範囲と，十分大きい範囲では とできる。残った閉区間上で は連続であるから最大値をとる。よって は において最大値をもつ。
解法2
(1)
よって、 が直角となるのは である。
(2)
の傾きは なので、 からの高さは である。 から への高さ との交点より
を得る。
(3)
垂足を計算すると
したがって、三辺の方程式は
からこれら3直線までの距離は、いずれも
また、 では は 軸の下側、 は上側にあり、 であるから は の内部にある。ゆえに は三辺から等距離にある内部の点、すなわち内心である。
(4)
(1)の共通距離が内接円の半径であるから
(5)
とおき、
とする。 なので、対数微分により
ただし であり、 である。したがって、 では は まで減少し、その後は単調に増加する。さらに で、 が限りなく大きくなると も限りなく大きくなるから、 は にただ1つの解 をもつ。
(2)の分母は正であるから、 は で正、 で負である。よって 、したがって正の平方根 は で最大値をもつ。