広島大学 2019年度 前期文系数学 第2問

(1)
裏が出る確率を $q=1-p$ とおく。$n$ 回後に上の面が $0$ である確率を $P_n$ とすると，次の試行で表が出れば状態は変わらず，裏が出れば $0$ と $1$ が入れ替わる。よって$$P_{n+1}=p{P}_n+q(1-P_n)=q+(p-q)P_n$$である。したがって$$P_{n+1}-\frac{1}{2}=(2p-1)(P_n-\frac{1}{2})$$であり，$P_0=1$ として$$P_n=\frac{1+(2p-1{)}^n}{2}$$を得る。

(2)
カードが $0$ であるのは，裏が出た回数が偶数回のときである。条件「$0$ であり，途中で少なくとも1回裏返された」は，裏が出た回数が $2,4,\dots$ 回であることを表す。その確率は$$P_n-p^n=\frac{1+(2p-1{)}^n}{2}-p^n$$である。一方，ちょうど $2$ 回裏返された確率は$$\frac{n(n-1)}{2}(1-p{)}^2{p}^{n-2}$$である。よって求める条件付き確率は$$\frac{\frac{n(n-1)}{2}(1-p{)}^2{p}^{n-2}}{\frac{1+(2p-1{)}^n}{2}-p^n}$$である。

裏返す回数を二項分布で直接数え、偶数項の和を二項定理で求める。$(p+q{)}^n$ と $(p-q{)}^n$ を足すと奇数項が消えることを利用する。

裏の確率を $q=1-p$ とする。

(1)
カードが0の面を上にしているのは、裏が偶数回出たときである。したがって$$\begin{array}{cccc}& P_n=\sum _{\begin{array}{c}0\leqq j\leqq n\\ j\text{ が偶数}\end{array}}{}_n{C}_j{q}^j{p}^{n-j}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$二項定理より$$(p+q{)}^n+(p-q{)}^n=2\sum _{\begin{array}{c}0\leqq j\leqq n\\ j\text{ が偶数}\end{array}}{}_n{C}_j{q}^j{p}^{n-j}\mathrm{.}$$$p+q=1$、$p-q=2p-1$ だから$$P_n=\frac{1+(2p-1{)}^n}{2}\mathrm{.}$$(2)
条件は「裏が正の偶数回出たこと」である。(1)から裏が0回、すなわち全て表の確率 $p^n$ を除けば、条件となる事象の確率は$$P_n-p^n=\frac{1+(2p-1{)}^n}{2}-p^n\mathrm{.}$$ちょうど2回裏が出る確率は$${}_n{C}_2{q}^2{p}^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}(1-p{)}^2{p}^{n-2}\mathrm{.}$$よって求める条件付き確率は$$\frac{{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}(1-p{)}^2{p}^{n-2}}{{\displaystyle \frac{1+(2p-1{)}^n}{2}}-p^n}\mathrm{.}$$