広島大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし， $p$ を $0 < p < 1$ を満たす実数とする．一方の面に $0,$ もう一方の面に $1$ と書いたカードがある．最初，このカードは $0$ と書かれた面が上になるように置いてある．表の出る確率が $p$ のコインを投げ，裏が出たときだけカードを裏返すという試行を $n$ 回繰り返して行う． $n$ 回の試行の後，カードの上の面に書かれた数字が $0$ である確率を $P_{n}$ とおく．次の問いに答えよ．

(1) $P_{n}$ を $p$ および $n$ を用いて表せ．

(2) $n ≧ 2$ とする． $n$ 回の試行の後，カードの上の面に書かれた数字が $0$ であり，さらに，途中でカードが少なくとも $1$ 回裏返されたことがわかっている．このとき，ちょうど $2$ 回裏返された確率を $p$ および $n$ を用いて表せ．

出典：広島大学 2019年度前期文系第2問

方針

解法1

裏が出る確率を $q = 1 - p$ とおく。カードが $0$ である確率について一次漸化式を立てて解く。(2) は条件付き確率として，分子を「裏返しがちょうど2回」，分母を「偶数回で，かつ0回ではない」として計算する。

解法2

裏返す回数を二項分布で直接数え、偶数項の和を二項定理で求める。 $(p + q)^{n}$ と $(p - q)^{n}$ を足すと奇数項が消えることを利用する。

解答

解法1

(1)

裏が出る確率を $q = 1 - p$ とおく。 $n$ 回後に上の面が $0$ である確率を $P_{n}$ とすると，次の試行で表が出れば状態は変わらず，裏が出れば $0$ と $1$ が入れ替わる。よって

P_{n + 1} = p P_{n} + q (1 - P_{n}) = q + (p - q) P_{n}

である。したがって

P_{n + 1} - \frac{1}{2} = (2 p - 1) (P_{n} - \frac{1}{2})

であり， $P_{0} = 1$ として

P_{n} = \frac{1 + ( 2 p - 1 ) ^{n}}{2}

を得る。

(2)

カードが $0$ であるのは，裏が出た回数が偶数回のときである。条件「 $0$ であり，途中で少なくとも1回裏返された」は，裏が出た回数が $2, 4, \dots$ 回であることを表す。その確率は

P_{n} - p^{n} = \frac{1 + ( 2 p - 1 ) ^{n}}{2} - p^{n}

である。一方，ちょうど $2$ 回裏返された確率は

\frac{n ( n - 1 )}{2} (1 - p)^{2} p^{n - 2}

である。よって求める条件付き確率は

\frac{\frac{n ( n - 1 )}{2} ( 1 - p ) ^{2} p ^{n - 2}}{\frac{1 + ( 2 p - 1 ) ^{n}}{2} - p ^{n}}

である。

解法2

裏の確率を $q = 1 - p$ とする。

(1)

カードが0の面を上にしているのは、裏が偶数回出たときである。したがって

P_{n} = 0 ≦ j ≦ n j が偶数 \sum_{n} C_{j} q^{j} p^{n - j} . (1)

二項定理より

(p + q)^{n} + (p - q)^{n} = 2 0 ≦ j ≦ n j が偶数 \sum_{n} C_{j} q^{j} p^{n - j} .

$p + q = 1$ 、 $p - q = 2 p - 1$ だから

P_{n} = \frac{1 + ( 2 p - 1 ) ^{n}}{2} .

(2)

条件は「裏が正の偶数回出たこと」である。(1)から裏が0回、すなわち全て表の確率 $p^{n}$ を除けば、条件となる事象の確率は

P_{n} - p^{n} = \frac{1 + ( 2 p - 1 ) ^{n}}{2} - p^{n} .

ちょうど2回裏が出る確率は

_{n} C_{2} q^{2} p^{n - 2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} (1 - p)^{2} p^{n - 2} .

よって求める条件付き確率は

\frac{\frac{n ( n - 1 )}{2} ( 1 - p ) ^{2} p ^{n - 2}}{\frac{1 + ( 2 p - 1 ) ^{n}}{2} - p ^{n}} .

広島大学 2019年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

広島大学 2019年度
文系数学第2問