広島大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面上の二つの曲線 $C : y = x^{3},$ $C^{'} : y = 8 x^{3}$ と曲線 $C$ 上の点 $P_{1} (1, 1)$ を考える．点 $P_{1}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と曲線 $C^{'}$ の交点を $Q_{1}$ とし，点 $Q_{1}$ を通り $y$ 軸と平行な直線と曲線 $C$ の交点を $P_{2}$ とする．次に，点 $P_{2}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と曲線 $C^{'}$ の交点を $Q_{2}$ とし，点 $Q_{2}$ を通り $y$ 軸と平行な直線と曲線 $C$ の交点を $P_{3}$ とする．このように，自然数 $n$ に対して，点 $P_{n}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と曲線 $C^{'}$ の交点を $Q_{n}$ とし，点 $Q_{n}$ を通り $y$ 軸と平行な直線と曲線 $C$ の交点を $P_{n + 1}$ とする．点 $P_{n}$ の $x$ 座標を $a_{n}$ とおく．次の問いに答えよ．

(1) $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(2) 点 $P_{n + 1}$ における曲線 $C$ の接線，直線 $x = a_{n}$ および曲線 $C$ で囲まれる部分のうち， $a_{n + 1} ≦ x ≦ a_{n}$ の領域にある面積を $S_{n}$ とする． $S_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(3) $T_{n} = S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n}$ とおく． $T_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

出典：広島大学 2019年度前期文系第3問

方針

解法1

点の作り方から $a_{n + 1} = a_{n} /2$ を得る。面積は $P_{n + 1}$ における接線と $y = x^{3}$ の差を $x = a_{n + 1}$ から $x = a_{n}$ まで積分し，最後に等比数列の和を用いる。

解法2

2曲線の相似的な縮小を図で捉える。面積は接線との差を因数分解し、 $x = a_{n + 1} u$ と尺度をそろえることで、毎回同じ定積分と4乗の縮小率に分ける。

解答

解法1

(1)

$P_{n} = (a_{n}, a_{n}^{3})$ とする。 $P_{n}$ を通る水平線と $C^{'} : y = 8 x^{3}$ の交点 $Q_{n}$ の $x$ 座標は

8 x^{3} = a_{n}^{3}

より $x = \frac{a _{n}}{2}$ である。したがって $P_{n + 1}$ の $x$ 座標も $\frac{a _{n}}{2}$ であり，

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2}, a_{1} = 1

である。よって

a_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}

である。

(2)

$b = a_{n + 1}$ とおくと， $a_{n} = 2 b$ である。曲線 $C : y = x^{3}$ の点 $(b, b^{3})$ における接線は

y = 3 b^{2} x - 2 b^{3}

である。したがって

S_{n} = \int_{b}^{2 b} {x^{3} - (3 b^{2} x - 2 b^{3})} d x = \frac{5}{4} b^{4}

である。 $b = a_{n + 1} = 2^{- n}$ より

S_{n} = \frac{5}{2 ^{4 n + 2}}

である。

(3)

(2)より $S_{n} = \frac{5}{64} (\frac{1}{16})^{n - 1}$ であるから，等比数列の和より

T_{n} = \frac{5}{64} \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{16} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{1}{12} (1 - \frac{1}{1 6 ^{n}})

である。

解法2

点列と第1段階の面積を図示すると次のようになる。

(1)

$P_{n} = (a_{n}, a_{n}^{3})$ とする。水平線上の $Q_{n}$ では

8 x^{3} = a_{n}^{3} ⟹ x = \frac{a _{n}}{2} .

そのまま鉛直に $C$ へ移るので $a_{n + 1} = a_{n} /2$ 。 $a_{1} = 1$ より

a_{n} = 2^{- (n - 1)} .

(2)

$b = a_{n + 1}$ とおくと $a_{n} = 2 b$ である。 $x = b$ における接線を $l_{b}$ とすれば

x^{3} - l_{b} (x) = x^{3} - (3 b^{2} x - 2 b^{3}) = (x - b)^{2} (x + 2 b) .

したがって $x = b u$ と変数変換して

S_{n} = b^{4} \int_{1}^{2} (u - 1)^{2} (u + 2) d u = b^{4} \int_{1}^{2} (u^{3} - 3 u + 2) d u = \frac{5}{4} b^{4} .

$b = 2^{- n}$ だから

S_{n} = \frac{5}{2 ^{4 n + 2}} .

(3)

$S_{n}$ は初項 $5/64$ 、公比 $1/16$ の等比数列なので

T_{n} = \frac{5}{64} \frac{1 - 1 6 ^{- n}}{1 - 1/16} = \frac{1}{12} (1 - \frac{1}{1 6 ^{n}}) .

広島大学 2019年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2019年度
文系数学第3問