広島大学 2019年度 前期文系数学 第3問

(1)
$P_n=(a_n,a_n^3)$ とする。$P_n$ を通る水平線と $C^{\mathrm{\prime }}:y=8x^3$ の交点 $Q_n$ の $x$ 座標は$$8x^3=a_n^3$$より $$x=\frac{a_n}{2}$$ である。したがって $P_{n+1}$ の $x$ 座標も $\frac{a_n}{2}$ であり，$$a_{n+1}=\frac{a_n}{2},a_1=1$$である。よって$$a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$である。

(2)
$b=a_{n+1}$ とおくと，$a_n=2b$ である。曲線 $C:y=x^3$ の点 $(b,b^3)$ における接線は$$y=3b^{2}x-2b^3$$である。したがって$$S_n={\int }_b^{2b}\{x^3-(3b^{2}x-2b^3)\}dx=\frac{5}{4}{b}^4$$である。$b=a_{n+1}=2^{-n}$ より$$S_n=\frac{5}{2^{4n+2}}$$である。

(3)
(2)より $$S_n=\frac{5}{64}{\left(\frac{1}{16}\right)}^{n-1}$$ であるから，等比数列の和より$$T_n=\frac{5}{64}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{16}\right)}^n}{1-\frac{1}{16}}=\frac{1}{12}(1-\frac{1}{{16}^n})$$である。

2曲線の相似的な縮小を図で捉える。面積は接線との差を因数分解し、$x=a_{n+1}u$ と尺度をそろえることで、毎回同じ定積分と4乗の縮小率に分ける。

点列と第1段階の面積を図示すると次のようになる。

(1)
$P_n=(a_n,a_n^3)$ とする。水平線上の $Q_n$ では$$8x^3=a_n^3⟹x=\frac{a_n}{2}\mathrm{.}$$そのまま鉛直に $C$ へ移るので $a_{n+1}=a_n\mathrm{/}2$。$a_1=1$ より$$a_n=2^{-(n-1)}\mathrm{.}$$(2)
$b=a_{n+1}$ とおくと $a_n=2b$ である。$x=b$ における接線を $l_b$ とすれば$$x^3-l_b(x)=x^3-(3b^{2}x-2b^3)=(x-b{)}^2(x+2b)\mathrm{.}$$したがって $x=bu$ と変数変換して$$S_n=b^4{\int }_1^2(u-1{)}^2(u+2)du=b^4{\int }_1^2(u^3-3u+2)du=\frac{5}{4}{b}^4\mathrm{.}$$$b=2^{-n}$ だから$$S_n=\frac{5}{2^{4n+2}}\mathrm{.}$$(3)
$S_n$ は初項 $5\mathrm{/}64$、公比 $1\mathrm{/}16$ の等比数列なので$$T_n=\frac{5}{64}\frac{1-{16}^{-n}}{1-1\mathrm{/}16}=\frac{1}{12}(1-\frac{1}{{16}^n})\mathrm{.}$$