広島大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

$m, p, q$ を実数とする。二つの関数を

f (x) = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x, g (x) = \frac{1}{6} (x - p)^{2} + q

と定める。座標平面上の放物線

C_{1} : y = f (x), C_{2} : y = g (x)

および直線 $l : y = m x$ について、次の二つの条件を仮定する。

(i) 直線 $l$ は原点 $O$ において放物線 $C_{1}$ に接する。

(ii) 直線 $l$ は放物線 $C_{2}$ に接する。

直線 $l$ と放物線 $C_{2}$ の接点を $A$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $m$ の値を求めよ。

(2) $q$ を $p$ を用いて表せ。また、点 $A$ の座標を $p$ を用いて表せ。

(3) $p \neq = - 1$ とする。放物線 $C_{1}$ と放物線 $C_{2}$ の二つの共有点の $x$ 座標を $p$ を用いて表せ。

(4) $p = 2$ とする。放物線 $C_{1}$ と放物線 $C_{2}$ で囲まれた図形のうち、 $x ≧ 0$ の範囲にある部分の面積 $S$ と、 $x ≦ 0$ の範囲にある部分の面積 $T$ をそれぞれ求めよ。

出典：広島大学 2020年度前期文系第1問

方針

解法1（接点の傾きから順に決める）

原点での接線の傾きから $m$ を決める。次に $C_{2}$ の導関数を直線の傾きと等置して接点を求め、接点が直線上にある条件から $q$ を定める。共有点は二次方程式を因数分解し、最後は二つの放物線の上下関係を確認して別々に積分する。

解法2（接線との差を完全平方にする）

直線 $y = x /3$ と各放物線との差を見る。 $C_{2}$ がこの直線に接する条件を判別式0として処理すると、差が完全平方になる。さらに $f - g$ も積の形へ直し、交点と面積を一つの式から読む。

解答

解法1（接点の傾きから順に決める）

(1)

微分すると

f^{'} (x) = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3} .

直線 $l$ は原点で $C_{1}$ に接するから

m = f^{'} (0) = \frac{1}{3} .

(2)

g^{'} (x) = \frac{1}{3} (x - p)

である。接点の $x$ 座標を $r$ とすると、接線の傾きが $1/3$ であることから

\frac{1}{3} (r - p) = \frac{1}{3}, r = p + 1.

接点は直線 $y = x /3$ 上にもあるので

g (p + 1) = \frac{1}{6} + q = \frac{p + 1}{3} .

したがって

q = \frac{2 p + 1}{6}, A = (p + 1, \frac{p + 1}{3}) .

(3)

共有点では $f (x) = g (x)$ である。両辺を6倍して整理すると

3 x^{2} + 2 (p + 1) x - (p + 1)^{2} = 0.

左辺は

{3 x - (p + 1)} (x + p + 1)

と因数分解できる。 $p \neq = - 1$ だから二つの解は異なり、

x = \frac{p + 1}{3}, x = - (p + 1)

である。

(4)

$p = 2$ のとき $q = 5/6$ であり、

f (x) - g (x) = \frac{1}{2} (x + 3) (x - 1) .

したがって共有点は $x = - 3, 1$ で、 $- 3 < x < 1$ では $g (x) > f (x)$ である。位置関係は次図のようになる。

よって

S = \int_{0}^{1} {g (x) - f (x)} d x, T = \int_{- 3}^{0} {g (x) - f (x)} d x .

ここで

g (x) - f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{3}{2}

だから、

S = \frac{5}{6}, T = \frac{9}{2} .

解法2（接線との差を完全平方にする）

(1)

f (x) - \frac{x}{3} = \frac{2}{3} x^{2}

であるから、直線 $y = x /3$ は原点で $C_{1}$ に接する。したがって

m = \frac{1}{3} .

(2)

直線と $C_{2}$ の差は

6 (g (x) - \frac{x}{3}) = x^{2} - 2 (p + 1) x + p^{2} + 6 q .

これが重解をもつための条件は

{2 (p + 1)}^{2} - 4 (p^{2} + 6 q) = 0.

よって

q = \frac{2 p + 1}{6} .

このとき

g (x) - \frac{x}{3} = \frac{1}{6} {x - (p + 1)}^{2}

となるので、接点は

A = (p + 1, \frac{p + 1}{3})

である。

(3)

(2)の $q$ を用いると

f (x) - g (x) = \frac{1}{6} {3 x - (p + 1)} (x + p + 1) .

したがって $p \neq = - 1$ のとき、共有点の $x$ 座標は

\frac{p + 1}{3}, - (p + 1)

である。

(4)

$p = 2$ なら

g (x) - f (x) = \frac{1}{2} (1 - x) (x + 3) .

よって

S T = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - x) (x + 3) d x = \frac{5}{6}, = \frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} (1 - x) (x + 3) d x = \frac{9}{2} .

広島大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（接点の傾きから順に決める）

解法2（接線との差を完全平方にする）

解答

解法1（接点の傾きから順に決める）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（接線との差を完全平方にする）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
文系数学第1問