広島大学 2020年度 前期文系数学 第1問

(1)

微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\mathrm{.}$$直線 $l$ は原点で $C_1$ に接するから$$m=f^{\mathrm{\prime }}(0)=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(2)$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{3}(x-p)$$である。接点の $x$ 座標を $r$ とすると、接線の傾きが $1\mathrm{/}3$ であることから$$\frac{1}{3}(r-p)=\frac{1}{3},r=p+1.$$接点は直線 $y=x\mathrm{/}3$ 上にもあるので$$g(p+1)=\frac{1}{6}+q=\frac{p+1}{3}\mathrm{.}$$したがって$$q=\frac{2p+1}{6},A=(p+1,\frac{p+1}{3})\mathrm{.}$$(3)

共有点では $f(x)=g(x)$ である。両辺を6倍して整理すると$$3x^2+2(p+1)x-(p+1{)}^2=0.$$左辺は$$\{3x-(p+1)\}(x+p+1)$$と因数分解できる。$p\text{neqq}-1$ だから二つの解は異なり、$$x=\frac{p+1}{3},x=-(p+1)$$である。

(4)

$p=2$ のとき $q=5\mathrm{/}6$ であり、$$f(x)-g(x)=\frac{1}{2}(x+3)(x-1)\mathrm{.}$$したがって共有点は $x=-3,1$ で、$-3<x<1$ では $g(x)>f(x)$ である。位置関係は次図のようになる。

よって$$S={\int }_0^1\{g(x)-f(x)\}dx,T={\int }_{-3}^0\{g(x)-f(x)\}dx\mathrm{.}$$ここで$$g(x)-f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{3}{2}$$だから、$$S=\frac{5}{6},T=\frac{9}{2}\mathrm{.}$$

直線 $y=x\mathrm{/}3$ と各放物線との差を見る。$C_2$ がこの直線に接する条件を判別式0として処理すると、差が完全平方になる。さらに $f-g$ も積の形へ直し、交点と面積を一つの式から読む。

(1) $$f(x)-\frac{x}{3}=\frac{2}{3}{x}^2$$であるから、直線 $y=x\mathrm{/}3$ は原点で $C_1$ に接する。したがって$$m=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$(2)

直線と $C_2$ の差は$$6(g(x)-\frac{x}{3})=x^2-2(p+1)x+p^2+6q\mathrm{.}$$これが重解をもつための条件は$$\{2(p+1){\}}^2-4(p^2+6q)=0.$$よって$$q=\frac{2p+1}{6}\mathrm{.}$$このとき$$g(x)-\frac{x}{3}=\frac{1}{6}\{x-(p+1){\}}^2$$となるので、接点は$$A=(p+1,\frac{p+1}{3})$$である。

(3)

(2) の $q$ を用いると$$f(x)-g(x)=\frac{1}{6}\{3x-(p+1)\}(x+p+1)\mathrm{.}$$したがって $p\text{neqq}-1$ のとき、共有点の $x$ 座標は$$\frac{p+1}{3},-(p+1)$$である。

(4)

$p=2$ なら$$g(x)-f(x)=\frac{1}{2}(1-x)(x+3)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_0^1(1-x)(x+3)dx=\frac{5}{6},}\\ {\displaystyle T}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_{-3}^0(1-x)(x+3)dx=\frac{9}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$