広島大学 2020年度
文系数学 第4問
- 試験区分
- 前期
- 対象
- 文系
- 分野
- 数列
- 解法
- 漸化式の変形、階差数列、和の計算、対称性の利用
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
数列 {an} を次の条件により定める。
(i) a1=1 である。
(ii) n=1,2,3,… に対し、n が奇数ならば an+1=−an+1、n が偶数ならば an+1=−2an+3 である。
さらに、数列 {bn}、{cn} を
bn=a2n−1,cn=a2n
により定める。次の問いに答えよ。
(1) a2,a3,a4,a5 を求めよ。
(2) 数列 {bn}、{cn} の一般項をそれぞれ求めよ。
(3) 自然数 m に対して、数列 {an} の初項から第 (2m−1) 項までの和を Tm とする。Tm を m を用いて表せ。
出典：広島大学 2020年度 前期 文系 第4問
方針
解法1（奇数項の一次漸化式を解く）
奇数番目と偶数番目を bn,cn に分け、cn=1−bn を次の式へ代入して bn+1=2bn+1 を作る。bn+1 を等比数列に直し、最後は奇数項と偶数項を別々に和をとる。
解法2（隣り合う奇数項と偶数項を組にする）
まず bn の一般項を求める。和については bk+ck=1 という各組の単純な関係を使い、m−1 組と最後の奇数項 bm に分けて一度に求める。
解答
解法1（奇数項の一次漸化式を解く）
(1)
定義から
a2=0,a3=3,a4=−2,a5=7.
(2)
cn=−bn+1
であり、さらに
bn+1=−2cn+3=2bn+1.
したがって
bn+1+1=2(bn+1).
b1+1=2 だから
bn+1=2n.
よって
bn=2n−1,cn=2−2n.
(3)
第 (2m−1) 項までには奇数項が m 個、偶数項が m−1 個ある。したがって
Tm=k=1∑mbk+k=1∑m−1ck.
ここで
k=1∑m(2k−1)=2m+1−2−m
かつ
k=1∑m−1(2−2k)=2m−2m.
ゆえに
Tm=2m+m−2.
解法2（隣り合う奇数項と偶数項を組にする）
(1)
漸化式を順に適用して
(a2,a3,a4,a5)=(0,3,−2,7).
(2)
cn=1−bn だから
bn+1=3−2cn=2bn+1.
b1=1 より
bn=2n−1,cn=1−bn=2−2n.
(3)
各 k について
bk+ck=(2k−1)+(2−2k)=1.
したがって、第 (2m−1) 項までの和は、最初の m−1 組と最後の bm に分けて
Tm=k=1∑m−1(bk+ck)+bm=(m−1)+(2m−1)=2m+m−2.
