広島大学 2020年度 前期文系数学 第4問

(1)

定義から$$a_2=0,a_3=3,a_4=-2,a_5=7.$$(2)$$c_n=-b_n+1$$であり、さらに$$b_{n+1}=-2c_n+3=2b_n+1.$$したがって$$b_{n+1}+1=2(b_n+1)\mathrm{.}$$$b_1+1=2$ だから$$b_n+1=2^n\mathrm{.}$$よって$$b_n=2^n-1,c_n=2-2^n\mathrm{.}$$(3)

第 $(2m-1)$ 項までには奇数項が $m$ 個、偶数項が $m-1$ 個ある。したがって$$T_m=\sum _{k=1}^m{b}_k+\sum _{k=1}^{m-1}{c}_k\mathrm{.}$$ここで$$\sum _{k=1}^m(2^k-1)=2^{m+1}-2-m$$かつ$$\sum _{k=1}^{m-1}(2-2^k)=2m-2^m\mathrm{.}$$ゆえに$$T_m=2^m+m-2.$$

まず $b_n$ の一般項を求める。和については $b_k+c_k=1$ という各組の単純な関係を使い、$m-1$ 組と最後の奇数項 $b_m$ に分けて一度に求める。

(1)

漸化式を順に適用して$$(a_2,a_3,a_4,a_5)=(0,3,-2,7)\mathrm{.}$$(2)

$c_n=1-b_n$ だから$$b_{n+1}=3-2c_n=2b_n+1.$$$b_1=1$ より$$b_n=2^n-1,c_n=1-b_n=2-2^n\mathrm{.}$$(3)

各 $k$ について$$b_k+c_k=(2^k-1)+(2-2^k)=1.$$したがって、第 $(2m-1)$ 項までの和は、最初の $m-1$ 組と最後の $b_m$ に分けて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{m-1}(b_k+c_k)+b_m}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(m-1)+(2^m-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^m+m-2.}\end{array}$$