広島大学 2020年度 前期文系数学 第3問

(1)

和が7になる順序対は$$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$$の6通りである。よって$$P(a_1+a_2=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\mathrm{.}$$(2)

硬貨が表なら必ず $b_1=1$ である。裏の場合は $a_1=1$ のときに限るから$$P(b_1=1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{12}\mathrm{.}$$(3)

2成分は独立なので$$P(\vec{b}=(1,1))={\left(\frac{7}{12}\right)}^2=\frac{49}{144}\mathrm{.}$$一方、$\vec{a}=(1,6)$ のもとで $\vec{b}=(1,1)$ となる硬貨の確率は $1\cdot 1\mathrm{/}2$ である。したがって$$P(\vec{a}=(1,6),\vec{b}=(1,1))=\frac{1}{36}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{72}\mathrm{.}$$よって求める条件付き確率は$$\frac{1\mathrm{/}72}{49\mathrm{/}144}=\frac{2}{49}\mathrm{.}$$(4)

和が7になる6通りのうち、$(1,6),(6,1)$ では硬貨の重みが $1\mathrm{/}2$、残り4通りでは $1\mathrm{/}4$ である。よって$$P(a_1+a_2=7,\vec{b}=(1,1))=\frac{1}{36}(\frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2})=\frac{1}{18}\mathrm{.}$$したがって$$P(a_1+a_2=7\mid \vec{b}=(1,1))=\frac{1\mathrm{/}18}{49\mathrm{/}144}=\frac{8}{49}\mathrm{.}$$

1成分について $b_k=1$ と分かった後の $a_k$ の分布をベイズの公式で求める。各成分は条件を付けた後も独立なので、この事後分布から (3)(4) を通常の積の確率として計算する。

(1)

和が7になる順序対は6通りだから$$P(a_1+a_2=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\mathrm{.}$$(2)

硬貨が表の場合と、硬貨が裏かつ $a_1=1$ の場合を足すと$$P(b_1=1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{12}\mathrm{.}$$(3)

$b_k=1$ が分かった後の $a_k$ の分布を求める。$a_k=1$ なら $b_k=1$ は確実であり、$a_k=2,\dots ,6$ なら確率 $1\mathrm{/}2$ である。したがって$$P(a_k=1\mid b_k=1)=\frac{1\mathrm{/}6}{7\mathrm{/}12}=\frac{2}{7},$$$$P(a_k=j\mid b_k=1)=\frac{(1\mathrm{/}6)(1\mathrm{/}2)}{7\mathrm{/}12}=\frac{1}{7}(j=2,3,4,5,6)\mathrm{.}$$条件 $\vec{b}=(1,1)$ のもとでも2成分は独立だから$$P(\vec{a}=(1,6)\mid \vec{b}=(1,1))=\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{7}=\frac{2}{49}\mathrm{.}$$(4)

和が7になる順序対のうち、$(1,6),(6,1)$ の条件付き確率はそれぞれ $2\mathrm{/}49$、残り4通りはそれぞれ $1\mathrm{/}49$ である。よって$$P(a_1+a_2=7\mid \vec{b}=(1,1))=2\cdot \frac{2}{49}+4\cdot \frac{1}{49}=\frac{8}{49}\mathrm{.}$$