広島大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

1個のさいころを2回投げ、1回目に出た目を $a_{1}$ 、2回目に出た目を $a_{2}$ とする。次に、1枚の硬貨を2回投げる。 $k = 1, 2$ に対して、 $k$ 回目に表が出た場合は $b_{k} = 1$ 、裏が出た場合は $b_{k} = a_{k}$ とおく。ベクトル

a = (a_{1}, a_{2}), b = (b_{1}, b_{2})

を考える。次の問いに答えよ。

(1) $a_{1} + a_{2} = 7$ である確率を求めよ。

(2) $b_{1} = 1$ である確率を求めよ。

(3) $b = (1, 1)$ であったとき、 $a = (1, 6)$ である条件付き確率を求めよ。

(4) $b = (1, 1)$ であったとき、 $a_{1} + a_{2} = 7$ である条件付き確率を求めよ。

出典：広島大学 2020年度前期文系第3問

方針

解法1（同時確率を重み付きで数える）

各成分について、 $a_{k} = 1$ なら硬貨の表裏にかかわらず $b_{k} = 1$ 、 $a_{k} \neq = 1$ なら表のときだけ $b_{k} = 1$ となる。この重みを使って条件付き確率の分母と分子を直接数える。

解法2（条件後のさいころ分布を先に作る）

1成分について $b_{k} = 1$ と分かった後の $a_{k}$ の分布をベイズの公式で求める。各成分は条件を付けた後も独立なので、この事後分布から (3)(4) を通常の積の確率として計算する。

解答

解法1（同時確率を重み付きで数える）

(1)

和が7になる順序対は

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

の6通りである。よって

P (a_{1} + a_{2} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} .

(2)

硬貨が表なら必ず $b_{1} = 1$ である。裏の場合は $a_{1} = 1$ のときに限るから

P (b_{1} = 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12} .

(3)

2成分は独立なので

P (b = (1, 1)) = (\frac{7}{12})^{2} = \frac{49}{144} .

一方、 $a = (1, 6)$ のもとで $b = (1, 1)$ となる硬貨の確率は $1 \cdot 1/2$ である。したがって

P (a = (1, 6), b = (1, 1)) = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{72} .

よって求める条件付き確率は

\frac{1/72}{49/144} = \frac{2}{49} .

(4)

和が7になる6通りのうち、 $(1, 6), (6, 1)$ では硬貨の重みが $1/2$ 、残り4通りでは $1/4$ である。よって

P (a_{1} + a_{2} = 7, b = (1, 1)) = \frac{1}{36} (\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{18} .

したがって

P (a_{1} + a_{2} = 7 ∣ b = (1, 1)) = \frac{1/18}{49/144} = \frac{8}{49} .

解法2（条件後のさいころ分布を先に作る）

(1)

和が7になる順序対は6通りだから

P (a_{1} + a_{2} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} .

(2)

硬貨が表の場合と、硬貨が裏かつ $a_{1} = 1$ の場合を足すと

P (b_{1} = 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12} .

(3)

$b_{k} = 1$ が分かった後の $a_{k}$ の分布を求める。 $a_{k} = 1$ なら $b_{k} = 1$ は確実であり、 $a_{k} = 2, \dots, 6$ なら確率 $1/2$ である。したがって

P (a_{k} = 1 ∣ b_{k} = 1) = \frac{1/6}{7/12} = \frac{2}{7},

P (a_{k} = j ∣ b_{k} = 1) = \frac{( 1/6 ) ( 1/2 )}{7/12} = \frac{1}{7} (j = 2, 3, 4, 5, 6) .

条件 $b = (1, 1)$ のもとでも2成分は独立だから

P (a = (1, 6) ∣ b = (1, 1)) = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{49} .

(4)

和が7になる順序対のうち、 $(1, 6), (6, 1)$ の条件付き確率はそれぞれ $2/49$ 、残り4通りはそれぞれ $1/49$ である。よって

P (a_{1} + a_{2} = 7 ∣ b = (1, 1)) = 2 \cdot \frac{2}{49} + 4 \cdot \frac{1}{49} = \frac{8}{49} .

広島大学 2020年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（同時確率を重み付きで数える）

解法2（条件後のさいころ分布を先に作る）

解答

解法1（同時確率を重み付きで数える）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（条件後のさいころ分布を先に作る）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
文系数学第3問