広島大学 2024年度 前期理系数学 第4問

(1)
$\alpha$は虚軸上にあるから $\alpha =yi$ とおける。円$C$上にある条件は$$\mathrm{\mid }yi-1{\mathrm{\mid }}^2=2$$であり、$1+y^2=2$より $y=\pm 1$ である。したがって $\alpha =\pm i$ であり、いずれの場合も$$\alpha +\frac{1}{\alpha }=0$$である。

(2)
$\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$より$$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2-z-\bar{z}-1=0$$である。よって$$\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+z+\bar{z}+1=2\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$$である。したがって$$\mid -\frac{1}{z}-1\mid =\mid \frac{z+1}{z}\mid =\sqrt{2}$$となるので、点$-\frac{1}{z}$も円$C$上にある。

(3) $$w-2=z+\frac{1}{z}-2=\frac{(z-1{)}^2}{z}$$である。したがって$$\mathrm{\mid }w-2\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}=\frac{2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}$$である。

(4) $$w+2=z+\frac{1}{z}+2=\frac{(z+1{)}^2}{z}$$である。(2)の計算より $\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2$ であるから$$\mathrm{\mid }w+2\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}=2\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$$である。よって(3)と合わせて$$\mathrm{\mid }w-2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }w+2\mathrm{\mid }=\frac{2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}\cdot 2\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=4$$である。

$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$とおき、円の条件を${\rho }^2-2\rho \cos \theta -1=0$へ直す。$-1\mathrm{/}z$の絶対値と偏角を追って同じ円の方程式を満たすことを示し、最後は$w\pm 2$の積の構造を用いる。

円$C$は原点を通らないので、以下では$z\mathrm{\ne }0$である。

(1)
虚軸上では$\alpha =yi$（$y$は実数）と書ける。$\mathrm{\mid }\alpha -1{\mathrm{\mid }}^2=2$から$$y^2+1=2,y=\pm 1.$$したがって$\alpha =\pm i$であり$$\alpha +\frac{1}{\alpha }=0\mathrm{.}$$(2)
$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$（$\rho >0$）とおく。円$C$上にある条件は$$\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2=2$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& {\rho }^2-2\rho \cos \theta -1=0.& & \text{(*)}\end{array}$$一方$$-\frac{1}{z}=\frac{1}{\rho }\{\cos (\pi -\theta )+i\sin (\pi -\theta )\}\mathrm{.}$$この点に対して円の方程式の左辺を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{{\rho }^2}-\frac{2}{\rho }\cos (\pi -\theta )-1}& {\displaystyle =\frac{1+2\rho \cos \theta -{\rho }^2}{{\rho }^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0}\end{array}$$となる。最後の等号は$(\ast )$による。よって$$-\frac{1}{z}\text{も円}C\text{上にある}\mathrm{.}$$(3)$$w-2=z+\frac{1}{z}-2=\frac{(z-1{)}^2}{z}$$より$$\mathrm{\mid }w-2\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }z-1{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}=\frac{2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}\mathrm{.}$$(4)
(2)より$-1\mathrm{/}z$も円$C$上にあるから$$\mid -\frac{1}{z}-1\mid =\sqrt{2}\mathrm{.}$$したがって$$\frac{\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}=\sqrt{2},\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2=2\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$また$$w+2=\frac{(z+1{)}^2}{z}$$なので$$\mathrm{\mid }w+2\mathrm{\mid }=\frac{\mathrm{\mid }z+1{\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}=2\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$(3)と掛け合わせて$$\mathrm{\mid }w-2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }w+2\mathrm{\mid }=\frac{2}{\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }}\cdot 2\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=4\mathrm{.}$$この積は、$z$と$-1\mathrm{/}z$が同じ円上にあるという反転対称性が、$w$平面上の2点$\pm 2$からの距離の積へ移ったものと解釈できる。