広島大学 2024年度 前期理系数学 第3問

(1)
直線$P_n{Q}_n$の方程式は$$bx+ay=abn$$である。この直線上の格子点$(x,y)$について、上式を$a$で割った余りを見ると、$bx$は$a$で割り切れる。$a$と$b$は互いに素であるから、$x$は$a$で割り切れる。よって $x=ak$ とおける。これを代入すると$$y=b(n-k)$$である。$x\geqq 0,y\geqq 0$より $k=0,1,\dots ,n$ であるから、求める格子点は$$(ak,b(n-k))(k=0,1,\dots ,n)$$のみである。

(2)
長方形$OPRQ$上の格子点は $0\leqq x\leqq a$、$0\leqq y\leqq b$ を満たす格子点であるから、個数は$$(a+1)(b+1)$$である。

(1) を$n=1$に適用すると、対角線$PQ$上の格子点は$P,Q$の$2$個だけである。長方形は対角線$PQ$で合同な$2$つの三角形に分かれるので、三角形$OPQ$上の格子点の個数は$$\frac{(a+1)(b+1)+2}{2}=\frac{ab+a+b+3}{2}$$である。

(3)
三角形$O{P}_n{Q}_n$内の格子点は$$0\leqq x,0\leqq y,bx+ay\leqq abn$$を満たす格子点である。$x=aq+r$、$0\leqq r\leqq a-1$と表す。ただし $x=an$ の点は最後に別に数える。

$q=0,1,\dots ,n-1$を固定する。$r=0$のとき、$y$は $0$ から $b(n-q)$ までの $b(n-q)+1$ 個である。$r=1,2,\dots ,a-1$のとき、$br$を$a$で割った商を用いて同様に数えると、固定した$q$に対する個数の和は$$a\{b(n-q)+1\}-\frac{(a-1)(b+1)}{2}$$である。ここで、$br$の$a$による余りが$1,2,\dots ,a-1$を一度ずつ動くことを用いた。

したがって、$x=0,1,\dots ,an-1$に対応する個数を足し、さらに$x=an,y=0$の$1$個を加えると$$\sum _{q=0}^{n-1}[a\{b(n-q)+1\}-\frac{(a-1)(b+1)}{2}]+1$$である。これを整理して$$\frac{ab{n}^2+(a+b+1)n+2}{2}$$を得る。

(4)
$z=m$（$m=0,1,\dots ,n$）で切った断面を考える。この断面上の格子点は、(3)で $n$ を $n-m$ に置き換えた個数だけある。したがって、求める個数は$$\sum _{k=0}^n\frac{ab{k}^2+(a+b+1)k+2}{2}$$である。よって$$\frac{abn(n+1)(2n+1)}{12}+\frac{(a+b+1)n(n+1)}{4}+n+1$$である。

斜辺が長方形を合同な2つの三角形へ分けることを利用する。長方形全体の格子点数に、両側へ重複して数えられる斜辺上の格子点数を加えて2で割ればよい。この方法を一般の$n$へ直接適用し、最後は高さごとに和をとる。

(1)
直線$P_n{Q}_n$は$$bx+ay=abn$$で表される。格子点$(x,y)$がこの直線上にあれば、$a$は$bx$を割り切る。$a,b$は互いに素なので、$a$は$x$を割り切る。よって$x=ak$と書け、代入すると$$y=b(n-k)$$となる。$x,y\geqq 0$から$0\leqq k\leqq n$であり、$k$は整数なので$$(x,y)=(ak,b(n-k))(k=0,1,\dots ,n)\mathrm{.}$$逆にこれらの点はすべて直線上の格子点であるから、必要十分である。

(2)
長方形$OPRQ$上の格子点数は$$(a+1)(b+1)\mathrm{.}$$対角線$PQ$は長方形を合同な2つの三角形に分ける。(1)で$n=1$とすると、$PQ$上の格子点は$P,Q$の2点だけである。

長方形全体の格子点を2つの三角形に振り分けると、対角線上の2点だけが両方に数えられる。2つの三角形の格子点数は等しいから、三角形$OPQ$上の格子点数を$N_1$とすれば$$2N_1=(a+1)(b+1)+2.$$よって$$N_1=\frac{ab+a+b+3}{2}\mathrm{.}$$(3)
三角形$O{P}_n{Q}_n$を、長方形$$0\leqq x\leqq an,0\leqq y\leqq bn$$の対角線$P_n{Q}_n$で切り出した半分とみる。長方形の格子点数は$$(an+1)(bn+1),$$(1)より対角線上の格子点数は$n+1$である。したがって、求める個数$N_n$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle N_n}& {\displaystyle =\frac{(an+1)(bn+1)+(n+1)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{ab{n}^2+(a+b+1)n+2}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$この議論は境界・内部を含む格子点を漏れなく数え、対角線上だけを重複補正している。

(4)
四面体は$$\frac{x}{an}+\frac{y}{bn}+\frac{z}{n}\leqq 1,x,y,z\geqq 0$$で表される。$z=m$（$m=0,1,\dots ,n$）で切ると$$bx+ay\leqq ab(n-m)$$となるので、断面上の格子点数は(3)の$N_{n-m}$である。$k=n-m$と置けば全格子点数は$$\sum _{k=0}^n{N}_k=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^n\{ab{k}^2+(a+b+1)k+2\}\mathrm{.}$$ここで$$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$を用いると$$\frac{abn(n+1)(2n+1)}{12}+\frac{(a+b+1)n(n+1)}{4}+n+1\mathrm{.}$$$n=0$と形式的に置けば原点の1個になり、断面和の端点とも整合する。