広島大学 2024年度理系数学第5問解答・解説

問題

関数

f (x) = lo g (x + 1 + x^{2})

に対し、次の問いに答えよ。

(1) 曲線 $y = f (x)$ は $x > 0$ で上に凸であることを示せ。

(2) すべての $x ≧ 0$ に対し、不等式

\frac{x}{1 + x ^{2}} ≦ f (x) ≦ x

が成り立つことを示せ。

(3) 定積分 $\int_{0}^{\frac{3}{4}} f (x) d x$ の値 $S$ を求めよ。

(4) 曲線 $y = f (x)$ 上の点で、 $x$ 座標が $\frac{3}{4}$ であるものを $A$ とする。また、点 $A$ における曲線 $y = f (x)$ の接線を $l$ とする。 $l$ と直線 $y = x$ の交点を $B$ とする。点 $O (0, 0)$ 、 $A, B$ と点 $C (\frac{3}{4}, 0)$ を頂点にもつ四角形 $A B O C$ の面積 $T$ を求めよ。

(5) (1)〜(4)を利用して、 $lo g 2$ の小数第 $1$ 位の数字を求めよ。

出典：広島大学 2024年度前期理系第5問

方針

解法1（標準解法）

導関数と第2次導関数から凸性と基本不等式を示し、部分積分で曲線下の面積 $S$ を求める。接線と $y = x$ の交点から四角形の面積 $T$ を計算し、 $S < T$ と積分下界を組み合わせて $lo g 2$ を挟む。

解法2（積分表示と指数置換）

$f^{'} (x) = 1/ 1 + x^{2}$ と $f (0) = 0$ から $f$ を定積分として捉え、被積分関数の単調性だけで(2)を示す。(3)は $u = x + 1 + x^{2}$ という指数・対数範囲内の置換で独立に計算し、後半の面積評価へ接続する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

f^{'} (x) f^{''} (x) = \frac{1 + x / 1 + x ^{2}}{x + 1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}}, = - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} .

$x > 0$ では $f^{''} (x) < 0$ であるから、曲線 $y = f (x)$ は上に凸である。

(2)

$f (0) = 0$ であり、 $x ≧ 0$ で $0 < f^{'} (x) ≦ 1$ だから

f (x) ≦ x .

また

h (x) = f (x) - \frac{x}{1 + x ^{2}}

とおくと $h (0) = 0$ で、

h^{'} (x) = \frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} ≧ 0.

よって

\frac{x}{1 + x ^{2}} ≦ f (x) ≦ x (x ≧ 0) .

(3)

部分積分により

\int f (x) d x = x f (x) - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = x f (x) - 1 + x^{2} + C .

ここで

f (\frac{3}{4}) = lo g (\frac{3}{4} + \frac{5}{4}) = lo g 2

なので

S = \frac{3}{4} lo g 2 - \frac{1}{4} .

(4)

$L = lo g 2$ とおく。 $A = (3/4, L)$ で、接線 $l$ の傾きは $4/5$ であるから

l : y - L = \frac{4}{5} (x - \frac{3}{4}) .

$y = x$ との交点は

B = (5 L - 3, 5 L - 3) .

四角形 $A B O C$ に座標の面積公式を用いると

T = \frac{1}{2} {\frac{3}{4} (5 L - 3) + \frac{3}{4} L - L (5 L - 3)} = - \frac{5}{2} L^{2} + \frac{15}{4} L - \frac{9}{8} .

(5)

(2)の左側の不等式を $0 ≦ x ≦ 3/4$ で積分すると

\int_{0}^{3/4} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x ≦ S .

左辺は $1/4$ なので、(3)から

\frac{1}{4} ≦ \frac{3}{4} L - \frac{1}{4}, L ≧ \frac{2}{3} . (1)

次に(1)より、上に凸な曲線は点 $A$ での接線 $l$ の下側にある。また(2)より曲線は直線 $y = x$ の下側にある。 $0 < x < 3/4$ では $f^{''} (x) < 0$ なので、接点以外では接線との不等式は厳密である。したがって曲線下の面積 $S$ は、接線 $l$ 、直線 $y = x$ 、 $x$ 軸、直線 $x = 3/4$ で囲まれる四角形 $A B O C$ の面積 $T$ より小さい。

よって

\frac{3}{4} L - \frac{1}{4} < - \frac{5}{2} L^{2} + \frac{15}{4} L - \frac{9}{8},

すなわち

20 L^{2} - 24 L + 7 < 0.

左辺は $(2 L - 1) (10 L - 7)$ なので

\frac{1}{2} < L < \frac{7}{10} . (2)

(1),(2)より

\frac{2}{3} ≦ lo g 2 < \frac{7}{10} .

したがって

lo g 2 の小数第 1 位の数字は 6 .

解法2（積分表示と指数置換）

(1)、(2)

微分すると

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}, f^{''} (x) = - \frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3/2}} .

よって $x > 0$ で $f^{''} (x) < 0$ となり、上に凸である。また $f (0) = 0$ なので

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{2}} .

$0 ≦ t ≦ x$ では

\frac{1}{1 + x ^{2}} ≦ \frac{1}{1 + t ^{2}} ≦ 1

である。区間の長さ $x$ を掛ければ

\frac{x}{1 + x ^{2}} ≦ f (x) ≦ x .

(3)

u = x + 1 + x^{2}

と置く。 $u > 0$ であり、 $u^{- 1} = 1 + x^{2} - x$ だから

x = \frac{u - u ^{- 1}}{2}, d x = \frac{1 + u ^{- 2}}{2} d u, f (x) = lo g u .

$x = 0, 3/4$ はそれぞれ $u = 1, 2$ に対応するので

S = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (1 + u^{- 2}) lo g u d u .

ここで

\int lo g u d u = u lo g u - u,

\int u^{- 2} lo g u d u = - \frac{lo g u + 1}{u}

より

S = \frac{1}{2} [u lo g u - u - \frac{lo g u + 1}{u}]_{1}^{2} = \frac{3}{4} lo g 2 - \frac{1}{4} .

(4)

$L = lo g 2$ とおくと、 $A = (3/4, L)$ 、接線の傾きは $4/5$ である。接線と $y = x$ の交点は $B = (5 L - 3, 5 L - 3)$ となる。四角形を対角線 $A O$ で2つの三角形へ分け、行列式で面積を求めても

T = - \frac{5}{2} L^{2} + \frac{15}{4} L - \frac{9}{8}

を得る。

(5)

(2)の積分表示から

\frac{1}{4} = \int_{0}^{3/4} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x ≦ S = \frac{3}{4} L - \frac{1}{4}

なので $L ≧ 2/3$ である。

また、 $f$ は $x > 0$ で狭義に上に凸であるため、曲線は $A$ での接線より厳密に下にあり、 $f (x) ≦ x$ でもある。よって $S < T$ で、

20 L^{2} - 24 L + 7 = (2 L - 1) (10 L - 7) < 0.

したがって $L < 7/10$ である。以上から

\frac{2}{3} ≦ lo g 2 < \frac{7}{10},

ゆえに小数第1位は $6$ である。

広島大学 2024年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（積分表示と指数置換）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

解法2（積分表示と指数置換）

(1)、(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2024年度
理系数学第5問