広島大学 2024年度 前期理系数学 第5問

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\frac{1+x\mathrm{/}\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},}\\ {\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-\frac{x}{(1+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\mathrm{.}}\end{array}$$$x>0$では$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$であるから、曲線$y=f(x)$は上に凸である。

(2)
$f(0)=0$であり、$x\geqq 0$で$0<f^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 1$だから$$f(x)\leqq x\mathrm{.}$$また$$h(x)=f(x)-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$とおくと$h(0)=0$で、$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x^2}{(1+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\geqq 0.$$よって$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leqq f(x)\leqq x(x\geqq 0)\mathrm{.}$$(3)
部分積分により$$\int f(x)dx=xf(x)-\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=xf(x)-\sqrt{1+x^2}+C\mathrm{.}$$ここで$$f\left(\frac{3}{4}\right)=\log (\frac{3}{4}+\frac{5}{4})=\log 2$$なので$$S=\frac{3}{4}\log 2-\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(4)
$L=\log 2$とおく。$A=(3\mathrm{/}4,L)$で、接線$l$の傾きは$4\mathrm{/}5$であるから$$l:y-L=\frac{4}{5}(x-\frac{3}{4})\mathrm{.}$$$y=x$との交点は$$B=(5L-3,5L-3)\mathrm{.}$$四角形$ABOC$に座標の面積公式を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{\frac{3}{4}(5L-3)+\frac{3}{4}L-L(5L-3)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{5}{2}{L}^2+\frac{15}{4}L-\frac{9}{8}\mathrm{.}}\end{array}$$(5)
(2)の左側の不等式を$0\leqq x\leqq 3\mathrm{/}4$で積分すると$${\int }_0^{3\mathrm{/}4}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx\leqq S\mathrm{.}$$左辺は$1\mathrm{/}4$なので、(3)から$$\begin{array}{cccc}& \frac{1}{4}\leqq \frac{3}{4}L-\frac{1}{4},L\geqq \frac{2}{3}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$次に(1)より、上に凸な曲線は点$A$での接線$l$の下側にある。また(2)より曲線は直線$y=x$の下側にある。$0<x<3\mathrm{/}4$では$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$なので、接点以外では接線との不等式は厳密である。したがって曲線下の面積$S$は、接線$l$、直線$y=x$、$x$軸、直線$x=3\mathrm{/}4$で囲まれる四角形$ABOC$の面積$T$より小さい。

よって$$\frac{3}{4}L-\frac{1}{4}<-\frac{5}{2}{L}^2+\frac{15}{4}L-\frac{9}{8},$$すなわち$$20L^2-24L+7<0.$$左辺は$(2L-1)(10L-7)$なので$$\begin{array}{cccc}& \frac{1}{2}<L<\frac{7}{10}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1),(2)より$$\frac{2}{3}\leqq \log 2<\frac{7}{10}\mathrm{.}$$したがって$$\log 2\text{の小数第1位の数字は }6\mathrm{.}$$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\mathrm{/}\sqrt{1+x^2}$と$f(0)=0$から$f$を定積分として捉え、被積分関数の単調性だけで(2)を示す。(3)は$u=x+\sqrt{1+x^2}$という指数・対数範囲内の置換で独立に計算し、後半の面積評価へ接続する。

(1) 、(2)
微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{x}{(1+x^2{)}^{3\mathrm{/}2}}\mathrm{.}$$よって$x>0$で$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$となり、上に凸である。また$f(0)=0$なので$$f(x)={\int }_0^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm{.}$$\pagebreak[3]
$0\leqq t\leqq x$では$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\leqq \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\leqq 1$$である。区間の長さ$x$を掛ければ$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leqq f(x)\leqq x\mathrm{.}$$(3)$$u=x+\sqrt{1+x^2}$$と置く。$u>0$であり、$u^{-1}=\sqrt{1+x^2}-x$だから$$x=\frac{u-u^{-1}}{2},dx=\frac{1+u^{-2}}{2}du,f(x)=\log u\mathrm{.}$$$x=0,3\mathrm{/}4$はそれぞれ$u=1,2$に対応するので$$S=\frac{1}{2}{\int }_1^2(1+u^{-2})\log udu\mathrm{.}$$ここで$$\int \log udu=u\log u-u,$$$$\int u^{-2}\log udu=-\frac{\log u+1}{u}$$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{[u\log u-u-\frac{\log u+1}{u}]}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{4}\log 2-\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$(4)
$L=\log 2$とおくと、$A=(3\mathrm{/}4,L)$、接線の傾きは$4\mathrm{/}5$である。接線と$y=x$の交点は$B=(5L-3,5L-3)$となる。四角形を対角線$AO$で2つの三角形へ分け、行列式で面積を求めても$$T=-\frac{5}{2}{L}^2+\frac{15}{4}L-\frac{9}{8}$$を得る。

(5)
(2)の積分表示から$$\frac{1}{4}={\int }_0^{3\mathrm{/}4}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx\leqq S=\frac{3}{4}L-\frac{1}{4}$$なので$L\geqq 2\mathrm{/}3$である。

また、$f$は$x>0$で狭義に上に凸であるため、曲線は$A$での接線より厳密に下にあり、$f(x)\leqq x$でもある。よって$S<T$で、$$20L^2-24L+7=(2L-1)(10L-7)<0.$$したがって$L<7\mathrm{/}10$である。以上から$$\frac{2}{3}\leqq \log 2<\frac{7}{10},$$ゆえに小数第1位は$6$である。