広島大学 2025年度文系数学第1問解答・解説

問題

$1$ 個のさいころを $3$ 回投げ、出た目を順に $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 集合 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ が集合 ${2, 5, 6}$ と等しくなる確率を求めよ。

(2) $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ である確率を求めよ。

(3) $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ がすべて異なる確率を求めよ。

(4) 集合 ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ と集合 ${2, 3}$ が等しいとき、 $a_{1} = 3, a_{2} = 2, a_{3} = 3$ である条件付き確率を求めよ。

(5) $\frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} + \frac{1}{a _{3}} = 1$ である確率を求めよ。

出典：広島大学 2025年度前期文系第1問

方針

全事象を順序つきの $6^{3}$ 通りとして前半を直接数える。(5) は $b_{1} ≦ b_{2} ≦ b_{3}$ と並べ，最小値で場合分けして非減少解を尽くし，最後に重複度に応じた順列数を戻す。

解答

(1)

$2, 5, 6$ が $1$ 回ずつ出ればよいので、有利な出方は $3! = 6$ 通りである。よって確率は

\frac{6}{6 ^{3}} = \frac{1}{36}

である。

(2)

異なる $3$ つの目を選ぶと、そのうち昇順になる並びは $1$ 通りである。したがって有利な出方は $_{6} C_{3} = 20$ 通りであり、確率は

\frac{20}{6 ^{3}} = \frac{5}{54}

である。

(3)

$3$ 回の目がすべて異なる出方は

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

通りである。よって確率は

\frac{120}{6 ^{3}} = \frac{5}{9}

である。

(4)

集合が ${2, 3}$ である出方は、各回が $2$ または $3$ で、しかも両方が現れる出方であるから

2^{3} - 2 = 6

通りである。このうち $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (3, 2, 3)$ は $1$ 通りである。よって条件付き確率は

\frac{1}{6}

である。

(5)

$a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を小さい順に並べて $b_{1} ≦ b_{2} ≦ b_{3}$ とする。 $b_{1} = 1$ では和が $1$ を超え、 $b_{1} ≧ 4$ では和が高々 $\frac{3}{4}$ である。したがって $b_{1} = 2$ または $b_{1} = 3$ を調べればよい。

$b_{1} = 2$ のとき

\frac{1}{b _{2}} + \frac{1}{b _{3}} = \frac{1}{2}

であり、 $(b_{2} - 2) (b_{3} - 2) = 4$ から

(b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (2, 3, 6), (2, 4, 4)

である。 $b_{1} = 3$ のときは

\frac{1}{b _{2}} + \frac{1}{b _{3}} = \frac{2}{3}

であり、 $(b_{2}, b_{3}) = (3, 3)$ のみである。非減少解と順序つきの個数をまとめると

(b_{1}, b_{2}, b_{3}) (2, 3, 6) (2, 4, 4) (3, 3, 3) 順序つきの個数 631

である。したがって順序つきの有利な出方は

6 + 3 + 1 = 10

通りである。よって確率は

\frac{10}{6 ^{3}} = \frac{5}{108}

である。

広島大学 2025年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

広島大学 2025年度
文系数学第1問