広島大学 2025年度 前期文系数学 第1問

(1)
$2,5,6$が$1$回ずつ出ればよいので、有利な出方は$3!=6$通りである。よって確率は$$\frac{6}{6^3}=\frac{1}{36}$$である。

(2)
異なる$3$つの目を選ぶと、そのうち昇順になる並びは$1$通りである。したがって有利な出方は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通りであり、確率は$$\frac{20}{6^3}=\frac{5}{54}$$である。

(3)
$3$回の目がすべて異なる出方は$$6\cdot 5\cdot 4=120$$通りである。よって確率は$$\frac{120}{6^3}=\frac{5}{9}$$である。

(4)
集合が$\{2,3\}$である出方は、各回が$2$または$3$で、しかも両方が現れる出方であるから$$2^3-2=6$$通りである。このうち $(a_1,a_2,a_3)=(3,2,3)$ は$1$通りである。よって条件付き確率は$$\frac{1}{6}$$である。

(5)
$a_1,a_2,a_3$を小さい順に並べて $b_1\leqq b_2\leqq b_3$ とする。$b_1=1$では和が$1$を超え、$b_1\geqq 4$では和が高々$\frac{3}{4}$である。したがって$b_1=2$または$b_1=3$を調べればよい。

$b_1=2$のとき$$\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}=\frac{1}{2}$$であり、$(b_2-2)(b_3-2)=4$から$$(b_1,b_2,b_3)=(2,3,6),(2,4,4)$$である。$b_1=3$のときは$$\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}=\frac{2}{3}$$であり、$(b_2,b_3)=(3,3)$のみである。非減少解と順序つきの個数をまとめると$$\begin{array}{cc}(b_1,b_2,b_3)& \text{順序つきの個数}\\ (2,3,6)& 6\\ (2,4,4)& 3\\ (3,3,3)& 1\end{array}$$である。したがって順序つきの有利な出方は$$6+3+1=10$$通りである。よって確率は$$\frac{10}{6^3}=\frac{5}{108}$$である。