広島大学 2025年度 前期文系数学 第2問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2-6x=-3x(x+2)$$である。したがって $x=-2$ で極小、$x=0$ で極大となる。値は$$f(-2)=0,f(0)=4$$である。よって極小値は$0$、極大値は$4$である。

(2)
共通点と共通接線の条件より$$g(t)=f(t),g^{\mathrm{\prime }}(t)=f^{\mathrm{\prime }}(t)$$である。まず$$2t+a=-3t^2-6t$$より$$a=-3t^2-8t$$である。また$$t^2+at+b=-t^3-3t^2+4$$に代入して$$b=2t^3+4t^2+4$$である。

(3) $$g(x)-f(x)=x^3+4x^2+ax+b-4$$であるから、$$F(t)=\frac{1}{4}+\frac{4}{3}+\frac{a}{2}+b-4$$である。(2)を代入すると$$F(t)=2t^3+\frac{5}{2}{t}^2-4t+\frac{19}{12}$$である。微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=6t^2+5t-4=(2t-1)(3t+4)$$である。$t>0$ では $0<t<1\mathrm{/}2$ で $F^{\mathrm{\prime }}(t)<0$，$t>1\mathrm{/}2$ で $F^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ だから，$t=\frac{1}{2}$ で最小となる。したがって最小値は$$F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{24}$$である。

$C_1,C_2$ が $x=t$ で接することは，$h(x)=g(x)-f(x)$ が $x=t$ を二重根にもつことと同値である。最高次係数と $x^2$ の係数から残りの一次因子を決め，積分して最小化する。

$h(x)=g(x)-f(x)$ は最高次係数が1の三次式で，$x=t$ を二重根にもつ。$x^2$ の係数が4であることから$$h(x)=(x-t{)}^2(x+2t+4)$$である。展開して $x$ と定数の係数を比較すると$$a=-3t^2-8t,b=2t^3+4t^2+4$$も同時に得られる。

したがって$$F(t)={\int }_0^1(x-t{)}^2(x+2t+4)dx=2t^3+\frac{5}{2}{t}^2-4t+\frac{19}{12}\mathrm{.}$$よって$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=(2t-1)(3t+4)\mathrm{.}$$$t>0$ では $0<t<1\mathrm{/}2$ で減少，$t>1\mathrm{/}2$ で増加するので，最小値は$$F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{24}$$である。