問題
とする。また、を実数とし、二つの関数
を考える。座標平面上の二つの曲線、は座標がである共有点をもち、かつ点において共通の接線をもつとする。次の問いに答えよ。
(1) 関数の極値を求めよ。
(2) をそれぞれを用いて表せ。
(3) における関数
の最小値を求めよ。
出典：広島大学 2025年度 前期 文系 第2問
方針
標準解法（接点での値と傾きを一致させる）
共有点での関数値と導関数の一致から を で表す。積分後に代入して を三次式にし， で微分して最小化する。別解では が を二重根にもつことを直接使う。
別解（接点を二重根として差を因数分解）
が で接することは， が を二重根にもつことと同値である。最高次係数と の係数から残りの一次因子を決め，積分して最小化する。
解答
標準解法（接点での値と傾きを一致させる）
(1)
である。したがって で極小、 で極大となる。値は
である。よって極小値は、極大値はである。
(2)
共通点と共通接線の条件より
である。まず
より
である。また
に代入して
である。
(3)
であるから、
である。(2)を代入すると
である。微分すると
である。 では で ， で だから， で最小となる。したがって最小値は
である。
別解（接点を二重根として差を因数分解）
は最高次係数が1の三次式で， を二重根にもつ。 の係数が4であることから
である。展開して と定数の係数を比較すると
も同時に得られる。
したがって
よって
では で減少， で増加するので，最小値は
である。