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広島大学 2025年度 前期文系数学 第4問

θを0<θ<π2を満たす実数とする。O(0,0)を原点とする座標平面上の2点A(cos⁡θ,0)、B(cos⁡θ,sin⁡θ)に対して、点Cおよび点Dを以下の条件により定める。

(i) Dは線分OB上の点である。

(ii) Cは直線OBに関してAと異なる側にある。

(iii) △OABと△CDBは合同である。すなわち、OA=CD、AB=DB、BO=BCが成り立つ。

次の問いに答えよ。

(1) OD→をθを用いて成分表示せよ。

(2) DC→をθを用いて成分表示せよ。

(3) Cのy座標をf(θ)とする。θが0<θ<π2の範囲を動くとき、f(θ)のとり得る値の範囲を求めよ。

(4) ∠AOC=34πとなるとき、θの値を求めよ。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安18分

ベクトル、三角関数、図形と方程式　ベクトル成分計算、三角比の利用、範囲評価

方針

c=cos⁡θ,s=sin⁡θ とおく。合同条件から OD=1−s，DC=c を読み，OB の単位法線のうち条件 (ii) に合う向きを選ぶ。C の座標を求め，値域は s∈(0,1) の二次関数，角条件は第2象限の直線 y=−x で処理する。

解答

条件 (ii) により，DC は OB を反時計回りに π/2 回転した向きになる。次図は θ=π/3 の配置例である。

(1)
c=cos⁡θ、s=sin⁡θとおく。OB→=(c,s)で、∣OB→∣=1である。また DB=AB=s であり、Dは線分OB上にあるからOD→=(1−s)OB→=((1−s)c,(1−s)s)である。

(2)
△CDBはDB=s、CD=c、BC=1を満たすので、DBとDCは垂直である。Cは直線OBに関してAと異なる側にあるから、OB→=(c,s)に垂直な向きとして(−s,c)を選ぶ。よってDC→=c(−s,c)=(−cs,c2)である。

(3)
(1)、(2)よりC=D+DC→=(c(1−2s), 1+s−2s2)である。したがってf(θ)=1+s−2s2(0<s<1)である。ここで f(θ)=(1−s)(2s+1)>0 である。またf(θ)=98−2(s−14)2より s=14 で最大値 98 をとり，s→1−0 で 0 に近づく。連続性から，値の範囲は0<f(θ)≦98である。

(4)
∠AOC=34πであることは、点Cが直線 y=−x 上で第2象限にあることと同値である。したがって1+s−2s2=−c(1−2s)=c(2s−1)である。このとき右辺が正であるから s>12 である。この範囲では両辺が正なので，平方しても同値である。整理すると(1−s)(2s+1)2=(1+s)(2s−1)2となり、2s(3−4s2)=0を得る。0<s<1かつs>12よりs=32である。したがってθ=π3である。

総評

【公式出題意図との対応】公式の出題意図は，図形と方程式・三角関数・ベクトルを融合し，合同条件から点の位置を成分で表し，値域と角条件を処理できるかを確認するものとされている。本解答は OB→ とその反時計回りの単位法線を基底として符号を確定した。

難度5，計算量5。想定時間は18分程度。C が直線 OB に関して A と反対側にある条件が DC→=cos⁡θ(−sin⁡θ,cos⁡θ) の符号を決める。

【別解監査】複素数の回転を使って DC を表す方法もあるが，数学Cのベクトルとして成分を明示する方が設問との対応がよい。(4) は内積から角を求める方法も監査し，同じ θ=π/3 を得た。

【独立検算】0<θ<π/2 を細分して座標を生成し，f(θ) の値域が (0,9/8] であることを確認した。角条件は境界 θ→π/2 の偽解を除き，内部解が π/3 のみであることを確認した。

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出典: 広島大学 令和7年度 一般選抜（前期日程）数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。