広島大学 2025年度文系数学第4問解答・解説

問題

$θ$ を $0 < θ < \frac{π}{2}$ を満たす実数とする。 $O (0, 0)$ を原点とする座標平面上の $2$ 点 $A (cos θ, 0)$ 、 $B (cos θ, sin θ)$ に対して、点 $C$ および点 $D$ を以下の条件により定める。

(i) $D$ は線分 $O B$ 上の点である。

(ii) $C$ は直線 $O B$ に関して $A$ と異なる側にある。

(iii) $△ O A B$ と $△ C D B$ は合同である。すなわち、 $O A = C D$ 、 $A B = D B$ 、 $B O = B C$ が成り立つ。

次の問いに答えよ。

(1) $O D$ を $θ$ を用いて成分表示せよ。

(2) $D C$ を $θ$ を用いて成分表示せよ。

(3) $C$ の $y$ 座標を $f (θ)$ とする。 $θ$ が $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲を動くとき、 $f (θ)$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(4) $∠ A O C = \frac{3}{4} π$ となるとき、 $θ$ の値を求めよ。

出典：広島大学 2025年度前期文系第4問

方針

$c = cos θ, s = sin θ$ とおく。合同条件から $O D = 1 - s$ ， $D C = c$ を読み， $O B$ の単位法線のうち条件 (ii) に合う向きを選ぶ。 $C$ の座標を求め，値域は $s \in (0, 1)$ の二次関数，角条件は第2象限の直線 $y = - x$ で処理する。

解答

条件 (ii) により， $D C$ は $O B$ を反時計回りに $π /2$ 回転した向きになる。次図は $θ = π /3$ の配置例である。

(1)

$c = cos θ$ 、 $s = sin θ$ とおく。 $O B = (c, s)$ で、 $∣ O B ∣ = 1$ である。また $D B = A B = s$ であり、 $D$ は線分 $O B$ 上にあるから

O D = (1 - s) O B = ((1 - s) c, (1 - s) s)

である。

(2)

$△ C D B$ は $D B = s$ 、 $C D = c$ 、 $B C = 1$ を満たすので、 $D B$ と $D C$ は垂直である。 $C$ は直線 $O B$ に関して $A$ と異なる側にあるから、 $O B = (c, s)$ に垂直な向きとして $(- s, c)$ を選ぶ。よって

D C = c (- s, c) = (- cs, c^{2})

である。

(3)

(1)、(2)より

C = D + D C = (c (1 - 2 s), 1 + s - 2 s^{2})

である。したがって

f (θ) = 1 + s - 2 s^{2} (0 < s < 1)

である。ここで $f (θ) = (1 - s) (2 s + 1) > 0$ である。また

f (θ) = \frac{9}{8} - 2 (s - \frac{1}{4})^{2}

より $s = \frac{1}{4}$ で最大値 $\frac{9}{8}$ をとり， $s \to 1 - 0$ で $0$ に近づく。連続性から，値の範囲は

0 < f (θ) ≦ \frac{9}{8}

である。

(4)

$∠ A O C = \frac{3}{4} π$ であることは、点 $C$ が直線 $y = - x$ 上で第 $2$ 象限にあることと同値である。したがって

1 + s - 2 s^{2} = - c (1 - 2 s) = c (2 s - 1)

である。このとき右辺が正であるから $s > \frac{1}{2}$ である。この範囲では両辺が正なので，平方しても同値である。整理すると

(1 - s) (2 s + 1)^{2} = (1 + s) (2 s - 1)^{2}

となり、

2 s (3 - 4 s^{2}) = 0

を得る。 $0 < s < 1$ かつ $s > \frac{1}{2}$ より

s = \frac{3}{2}

である。したがって

θ = \frac{π}{3}

である。

広島大学 2025年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2025年度
文系数学第4問