広島大学 2026年度文系数学第2問解答・解説

問題

すべての面が合同な四面体OABCがあり， $OA = 2$ ， $OB = OC = 5$ である。点Oから $3$ 点A，B，Cの定める平面に垂線OHを下ろす。 $O A = a$ ， $O B = b$ ， $O C = c$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 内積 $a \cdot b$ ， $b \cdot c$ ， $c \cdot a$ の値を求めよ。

(2) $O H ⊥ A B$ ， $O H ⊥ A C$ であることを利用して， $A H = s A B + t A C$ を満たす実数 $s, t$ の値を求めよ。

(3) 垂線OHの長さを求めよ。

(4) 四面体OABCの体積を求めよ。

出典：広島大学 2026年度前期文系第2問

全4面合同から対辺を対応させて内積を求め， $O H$ の垂直条件で $H$ の係数を決定する。最後は底面積と高さから体積を出す。

全4面が合同なので

AB = AC = 5, BC = 2 .

余弦定理型の内積公式から

a \cdot b = \frac{2 + 5 - 5}{2} = 1, b \cdot c = \frac{5 + 5 - 2}{2} = 4, c \cdot a = \frac{5 + 2 - 5}{2} = 1.

O H = a + s (b - a) + t (c - a) = (1 - s - t) a + s b + t c .

$O H$ と $b - a, c - a$ の内積を0とおくと

5 s + 4 t = 1, 4 s + 5 t = 1

となるので， $s = t = 1/9$ である。

(2)より $O H = (7 a + b + c) /9$ だから

OH^{2} = \frac{7 a + b + c}{9}^{2} = \frac{16}{9}, OH = \frac{4}{3} .

三角形ABCは辺が $5, 5, 2$ の二等辺三角形なので，底辺 $2$ に対する高さは $3/ 2$ である。よって

[A B C] = \frac{1}{2} 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}, V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} .