広島大学 2026年度 前期文系数学 第3問

(1)
公差を$r$とすると，$a_5-a_2=3r=6$であるから$r=2$である。$a_2=3$より$a_1=1$である。したがって$$a_n=2n-1$$である。

(2)
$d_n=n{b}_n$とおくと，漸化式より$$d_{n+1}=(n+1)b_{n+1}=n{b}_n+a_{n+1}=d_n+2n+1$$である。また$d_1=1$であるから$$d_n=1+\sum _{j=1}^{n-1}(2j+1)=1+(n^2-1)=n^2$$である。よって$$b_n=n$$である。

(3)
(1)，(2)より$$a_{n+1}-b_n=(2n+1)-n=n+1$$である。したがって$$c_{n+1}=\frac{n-1}{n}{c}_n+\frac{1}{n^2(n+1)}$$である。$n=1$を代入すると$c_2=1\mathrm{/}2$である。$n\geqq 2$で$u_n=(n-1)c_n$とおくと$$u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n(n+1)}$$である。$u_2=1\mathrm{/}2$より$$u_n=\frac{1}{2}+\sum _{j=2}^{n-1}\frac{1}{j(j+1)}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{n})=1-\frac{1}{n}$$となる。よって$n\geqq 2$で$c_n=1\mathrm{/}n$であり，$c_1=1$も同じ式を満たす。したがって$$c_n=\frac{1}{n}$$である。

(4)
$b_n=n$であるから$$p_n=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor ,q_n=\frac{24}{n}+\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$$である。奇数番目について$$q_{2k+1}-q_{2k-1}=1+\frac{24}{2k+1}-\frac{24}{2k-1}=1-\frac{48}{(2k-1)(2k+1)}$$である。これが正となる最小の$k$は$$(2k-1)(2k+1)>48$$を満たす最小の自然数であるから，$k=4$である。

また，偶数 $n=2r$ については$$q_{2r}=\frac{12}{r}+r,q_{2r}-7=\frac{(r-3)(r-4)}{r}$$である。正の整数 $r$ について右辺は0以上であり，等号は $r=3,4$ のときに成り立つ。したがって偶数番目の最小値は7である。奇数番目は上の差の符号から$q_1,q_3,q_5,q_7$まで減少し，その後は増加する。したがって奇数番目の最小は$$q_7=\frac{24}{7}+3=\frac{45}{7}$$である。$45\mathrm{/}7<7$より，$q_n$が最小となるのは$$n=7$$である。