広島大学 2026年度 前期文系数学 第4問

(1)
$x=\alpha +u$とおくと，積分区間は$$0\leqq u\leqq \beta -\alpha$$となり，$${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx={\int }_0^{\beta -\alpha }u\{u-(\beta -\alpha )\}du$$である。よって$${\int }_0^{\beta -\alpha }\{u^2-(\beta -\alpha )u\}du=\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{3}-\frac{(\beta -\alpha {)}^3}{2}=-\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$である。

(2)
$f(1)=0$より$$1-m+a=0$$であるから，$$m=a+1$$である。また$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2mx+a$$であるから，$m=a+1$を用いると$$g^{\mathrm{\prime }}(a)=3a^2-2a(a+1)+a=a(a-1)$$である。$g^{\mathrm{\prime }}(a)<0$より$$0<a<1$$である。

(3)
$m=a+1$より$$f(x)=x^2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)$$である。$0<a<1$だから，$a<x<1$で$f(x)<0$である。したがって(1)を用いて$$S_1=-{\int }_a^1(x-a)(x-1)dx=\frac{1}{6}(1-a{)}^3$$である。

(4)
$f(a)=0$であるから$g(a)=af(a)=0$であり，点Pは$(a,0)$である。接線$\mathrm{\ell }$の傾きは$$g^{\mathrm{\prime }}(a)=a(a-1)$$であるから，$\mathrm{\ell }$は$$y=a(a-1)(x-a)$$である。放物線$C_1$との差をとると$$f(x)-a(a-1)(x-a)=(x-a)\{x-(1-a+a^2)\}$$である。よってもう一つの交点の$x$座標は$1-a+a^2$である。$a<x<1-a+a^2$では接線が放物線の上にあるので，(1)より$$S_2=-{\int }_a^{1-a+a^2}(x-a)\{x-(1-a+a^2)\}dx=\frac{1}{6}\{(1-a+a^2)-a{\}}^3=\frac{1}{6}(1-a{)}^6$$である。

(5)
(3)，(4)より$$T=\frac{1}{6}(1-a{)}^3-\frac{4}{6}(1-a{)}^6$$である。$u=(1-a{)}^3$とおくと，$0<a<1$より$0<u<1$であり，$$T=\frac{1}{6}(u-4u^2)$$である。これは$u=1\mathrm{/}8$のとき最大となる。したがって$$1-a=\frac{1}{2},a=\frac{1}{2}$$であり，最大値は$$\frac{1}{6}(\frac{1}{8}-4\cdot \frac{1}{64})=\frac{1}{96}$$である。