一橋大学 2017年度文系数学第1問解答・解説

問題

実数 $a, b$ は $a ≧ 1, b ≧ 1, a + b = 9$ を満たす。(1)　 $lo g_{3} a + lo g_{3} b$ の最大値と最小値を求めよ。(2)　 $lo g_{2} a + lo g_{4} b$ の最大値と最小値を求めよ。

出典：一橋大学 2017年度前期文系第1問

方針

解法1

$b = 9 - a$ とおき， $1 ≦ a ≦ 8$ の一変数問題にする。(1)は $ab = a (9 - a)$ の最大最小，(2)は底を $4$ にそろえて $a^{2} b = a^{2} (9 - a)$ の最大最小を調べる。

解法2

対数の単調性で積の評価に直す。(1)は相加平均・相乗平均，(2)は $a^{2} (9 - a)$ と候補値との差を因数分解し，微分を使わず上下限と等号条件を決める。

解答

解法1

(1)

$b = 9 - a$ であり， $a ≧ 1$ ， $b ≧ 1$ より $1 ≦ a ≦ 8$ である。

lo g_{3} a + lo g_{3} b = lo g_{3} {a (9 - a)}

である。 $a (9 - a) = - (a - \frac{9}{2})^{2} + \frac{81}{4}$ だから， $1 ≦ a ≦ 8$ において最大値は $\frac{81}{4}$ ，最小値は端点での $8$ である。よって

lo g_{3} a + lo g_{3} b

の最大値は $lo g_{3} \frac{81}{4} = 4 - 2 lo g_{3} 2$ ，最小値は $lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2$ である。

(2)

底を $4$ にそろえると

lo g_{2} a + lo g_{4} b = lo g_{4} a^{2} + lo g_{4} b = lo g_{4} {a^{2} (9 - a)}

である。 $g (a) = a^{2} (9 - a)$ とおくと

g^{'} (a) = 18 a - 3 a^{2} = 3 a (6 - a)

である。 $1 ≦ a ≦ 8$ では， $g (a)$ は $1 ≦ a ≦ 6$ で増加し， $6 ≦ a ≦ 8$ で減少する。したがって最大値は $g (6) = 108$ であり，最小値は端点を比べて $g (1) = 8$ である。よって最大値は $lo g_{4} 108 = 1 + 3 lo g_{4} 3$ ，最小値は $lo g_{4} 8 = \frac{3}{2}$ である。

解法2

(1)

対数関数は単調増加なので $ab$ を評価すればよい。相加平均・相乗平均より

ab ≦ (\frac{a + b}{2})^{2} = \frac{81}{4},

等号は $a = b = 9/2$ で成立する。一方 $1 ≦ a ≦ 8$ で

ab = a (9 - a) ≧ 8,

等号は $(a, b) = (1, 8), (8, 1)$ で成立する。したがって最大値は

lo g_{3} \frac{81}{4} = 4 - 2 lo g_{3} 2,

最小値は

lo g_{3} 8 = 3 lo g_{3} 2.

(2)

lo g_{2} a + lo g_{4} b = lo g_{4} (a^{2} b)

である。 $b = 9 - a$ とし $g = a^{2} (9 - a)$ とおく。最大値について

108 - g = (a - 6)^{2} (a + 3) ≧ 0

だから $g ≦ 108$ ，等号は $a = 6, b = 3$ である。また

g - 8 = - (a - 1) (a^{2} - 8 a - 8) ≧ 0

であり， $1 ≦ a ≦ 8$ では等号は $a = 1$ のみである。よって最大値は

lo g_{4} 108 = 1 + 3 lo g_{4} 3,

最小値は

lo g_{4} 8 = \frac{3}{2} .

一橋大学 2017年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

一橋大学 2017年度
文系数学第1問