一橋大学 2017年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

$b = 9 - a$ とおき， $1 ≦ a ≦ 8$ の一変数問題にする。(1)は $a b = a (9 - a)$ の最大最小，(2)は底を $4$ にそろえて $a^{2} b = a^{2} (9 - a)$ の最大最小を調べる。

解答

(1)
$b = 9 - a$ であり， $a ≧ 1$ ， $b ≧ 1$ より $1 ≦ a ≦ 8$ である。 $\log_{3} a + \log_{3} b = \log_{3} {a (9 - a)}$ である。 $a (9 - a) = - {(a - \frac{9}{2})}^{2} + \frac{81}{4}$ だから， $1 ≦ a ≦ 8$ において最大値は $\frac{81}{4}$ ，最小値は端点での $8$ である。よって $\log_{3} a + \log_{3} b$ の最大値は $\log_{3} \frac{81}{4} = 4 - 2 \log_{3} 2$ ，最小値は $\log_{3} 8 = 3 \log_{3} 2$ である。

(2)
底を $4$ にそろえると $\log_{2} a + \log_{4} b = \log_{4} a^{2} + \log_{4} b = \log_{4} {a^{2} (9 - a)}$ である。 $g (a) = a^{2} (9 - a)$ とおくと $g^{'} (a) = 18 a - 3 a^{2} = 3 a (6 - a)$ である。 $1 ≦ a ≦ 8$ では， $g (a)$ は $1 ≦ a ≦ 6$ で増加し， $6 ≦ a ≦ 8$ で減少する。したがって最大値は $g (6) = 108$ であり，最小値は端点を比べて $g (1) = 8$ である。よって最大値は $\log_{4} 108 = 1 + 3 \log_{4} 3$ ，最小値は $\log_{4} 8 = \frac{3}{2}$ である。

別解

解法2

方針

対数の単調性で積の評価に直す。(1)は相加平均・相乗平均，(2)は $a^{2} (9 - a)$ と候補値との差を因数分解し，微分を使わず上下限と等号条件を決める。

解答

(1) 対数関数は単調増加なので $a b$ を評価すればよい。相加平均・相乗平均より $a b ≦ {(\frac{a + b}{2})}^{2} = \frac{81}{4},$ 等号は $a = b = 9 / 2$ で成立する。一方 $1 ≦ a ≦ 8$ で $a b = a (9 - a) ≧ 8,$ 等号は $(a, b) = (1, 8), (8, 1)$ で成立する。したがって最大値は $\log_{3} \frac{81}{4} = 4 - 2 \log_{3} 2,$ 最小値は $\log_{3} 8 = 3 \log_{3} 2.$ (2) $\log_{2} a + \log_{4} b = \log_{4} (a^{2} b)$ である。 $b = 9 - a$ とし $g = a^{2} (9 - a)$ とおく。最大値について $108 - g = (a - 6)^{2} (a + 3) ≧ 0$ だから $g ≦ 108$ ，等号は $a = 6, b = 3$ である。また $g - 8 = - (a - 1) (a^{2} - 8 a - 8) ≧ 0$ であり， $1 ≦ a ≦ 8$ では等号は $a = 1$ のみである。よって最大値は $\log_{4} 108 = 1 + 3 \log_{4} 3,$ 最小値は $\log_{4} 8 = \frac{3}{2} .$

総評

難度3，計算量3。想定時間は10分程度。対数の性質で積の最大最小へ直せば標準的である。(1)の最小値を端点で見ること，(2)で底をそろえてから微分することが主な採点点になる。 $a, b ≧ 1$ から $1 ≦ a ≦ 8$ と範囲を明示することを忘れないようにしたい。

出典: 一橋大学 2017年度前期数学第1問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

一橋大学 2017年度 前期文系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

一橋大学 2017年度前期文系数学第1問