一橋大学 2017年度 前期文系数学 第5問

(1)
3直線を媒介変数で表すと$$k:(x,y,z)=(1+s,s,0),l:(x,y,z)=(0,1+t,t),m:(x,y,z)=(u,0,1+u)$$である。

点 $P_2$ を $l$ 上の点 $(0,1+t,t)$ とおく。$l$ の方向ベクトルは $(0,1,1)$ であり，$$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(-1,1+t,t)$$だから，$P_1{P}_2\mathrm{\perp }l$ より$$(1+t)+t=0$$である。したがって $t=-\frac{1}{2}$ であり，$$P_2=(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$$である。

次に $P_3$ を $m$ 上の点 $(u,0,1+u)$ とおく。$m$ の方向ベクトルは $(1,0,1)$ であり，$$\overrightarrow{P_2{P}_3}=(u,-\frac{1}{2},\frac{3}{2}+u)$$だから，$P_2{P}_3\mathrm{\perp }m$ より$$u+(\frac{3}{2}+u)=0$$である。よって $u=-\frac{3}{4}$ であり，$$P_3=(-\frac{3}{4},0,\frac{1}{4})$$である。

(2)
点が $k,l,m$ 上にあるとき，それぞれ$$K(a)=(1+a,a,0),L(a)=(0,1+a,a),M(a)=(a,0,1+a)$$と表す。問題文の手順では点は $k,l,m,k,l,m,\dots$ の順に乗る。$P_n$ の媒介変数を $a_n$ とする。

例えば $P_n=K(a_n)$，$P_{n+1}=L(a_{n+1})$ の場合，$L$ の方向ベクトル $(0,1,1)$ との内積が0であるから$$(1+a_{n+1}-a_n)+a_{n+1}=0$$すなわち$$a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$$である。$l$ から $m$，$m$ から $k$ の場合も座標の巡回置換で同じ式になる。

いま $a_1=0$ であり，$$a_{n+1}+1=\frac{a_n+1}{2}$$だから$$a_n=2^{1-n}-1$$である。

長さはどの遷移でも同じ形で計算できる。$k$ から $l$ の場合を計算すると，$$\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}=(-1-a_n,1+a_{n+1}-a_n,a_{n+1})$$である。$a_n=2a_{n+1}+1$ を用いると$$\overrightarrow{P_n{P}_{n+1}}=(-2a_{n+1}-2,-a_{n+1},a_{n+1})$$となるので，$$P_n{P}_{n+1}^2=6a_{n+1}^2+8a_{n+1}+4$$である。ここに $a_{n+1}=2^{-n}-1$ を代入して$$P_n{P}_{n+1}^2=6{(\frac{1}{2^n}-1)}^2+8(\frac{1}{2^n}-1)+4=2-\frac{4}{2^n}+\frac{6}{2^{2n}}$$を得る。

したがって$$P_n{P}_{n+1}=\sqrt{2-\frac{4}{2^n}+\frac{6}{2^{2n}}}(n=1,2,3,\dots )$$である。

各直線上の点を同じ媒介変数で表し，漸化式を解いた後，$n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3$ ごとの座標を明記する。連続する2点の座標差を直接計算して長さを得る。

(1) $$k:K(t)=(1+t,t,0),l:L(t)=(0,1+t,t),m:M(t)=(t,0,1+t)\mathrm{.}$$$P_2=L(t)$ とおくと，方向ベクトル $(0,1,1)$ との垂直条件から$$(1+t)+t=0,$$よって$$P_2=(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\mathrm{.}$$同様に $P_3=M(u)$ とおけば$$u+(\frac{3}{2}+u)=0$$より$$P_3=(-\frac{3}{4},0,\frac{1}{4})\mathrm{.}$$(2) $P_n$ の属する直線上での媒介変数を $a_n$ とする。どの遷移でも次の直線の方向ベクトルとの内積が0となる条件は$$a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}\mathrm{.}$$$a_1=0$ だから$$a_n=2^{1-n}-1.$$したがって$$P_n=\{\begin{array}{ll}K(a_n)& n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ L(a_n)& n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ M(a_n)& n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}\end{array}$$例えば $K(a_n)$ から $L(a_{n+1})$ への座標差を取り，$a_n=2a_{n+1}+1$ を使うと$$P_n{P}_{n+1}^2=6a_{n+1}^2+8a_{n+1}+4.$$他の2遷移も座標の巡回置換なので同じである。$a_{n+1}=2^{-n}-1$ を代入して$$P_n{P}_{n+1}=\sqrt{2-\frac{4}{2^n}+\frac{6}{2^{2n}}}\mathrm{.}$$