一橋大学 2017年度文系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の直線 $x = y + 1$ を $k$ , $y z$ 平面上の直線 $y = z + 1$ を $l$ , $x z$ 平面上の直線 $z = x + 1$ を $m$ とする。直線 $k$ 上に点 $P_{1} (1, 0, 0)$ をとる。 $l$ 上の点 $P_{2}$ を $P_{1} P_{2} ⊥ l$ となるように定め, $m$ 上の点 $P_{3}$ を $P_{2} P_{3} ⊥ m$ となるように定め, $k$ 上の点 $P_{4}$ を $P_{3} P_{4} ⊥ k$ となるように定める。以下, 同様の手順で $l, m, k, l, m, k, \dots$ 上の点 $P_{5}, P_{6}, P_{7}, P_{8}, P_{9}, P_{10}, \dots$ を定める。(1)　点 $P_{2}, P_{3}$ の座標を求めよ。(2)　線分 $P_{n} P_{n + 1}$ の長さを $n$ を用いて表せ。

出典：一橋大学 2017年度前期文系第5問

方針

解法1

各直線を媒介変数で表し，点が乗る直線の順序を $k, l, m, k, l, m, \dots$ として統一する。次の直線への垂線条件は，次の直線の方向ベクトルとの内積が0であることに直す。どの遷移でも同じ漸化式 $a_{n + 1} = (a_{n} - 1) /2$ が得られるので，媒介変数を明示してから長さの二乗を整理する。

解法2

各直線上の点を同じ媒介変数で表し，漸化式を解いた後， $n mod 3$ ごとの座標を明記する。連続する2点の座標差を直接計算して長さを得る。

解答

解法1

(1)

3直線を媒介変数で表すと

k : (x, y, z) = (1 + s, s, 0), l : (x, y, z) = (0, 1 + t, t), m : (x, y, z) = (u, 0, 1 + u)

である。

点 $P_{2}$ を $l$ 上の点 $(0, 1 + t, t)$ とおく。 $l$ の方向ベクトルは $(0, 1, 1)$ であり，

P_{1} P_{2} = (- 1, 1 + t, t)

だから， $P_{1} P_{2} ⊥ l$ より

(1 + t) + t = 0

である。したがって $t = - \frac{1}{2}$ であり，

P_{2} = (0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})

である。

次に $P_{3}$ を $m$ 上の点 $(u, 0, 1 + u)$ とおく。 $m$ の方向ベクトルは $(1, 0, 1)$ であり，

P_{2} P_{3} = (u, - \frac{1}{2}, \frac{3}{2} + u)

だから， $P_{2} P_{3} ⊥ m$ より

u + (\frac{3}{2} + u) = 0

である。よって $u = - \frac{3}{4}$ であり，

P_{3} = (- \frac{3}{4}, 0, \frac{1}{4})

である。

(2)

点が $k, l, m$ 上にあるとき，それぞれ

K (a) = (1 + a, a, 0), L (a) = (0, 1 + a, a), M (a) = (a, 0, 1 + a)

と表す。問題文の手順では点は $k, l, m, k, l, m, \dots$ の順に乗る。 $P_{n}$ の媒介変数を $a_{n}$ とする。

例えば $P_{n} = K (a_{n})$ ， $P_{n + 1} = L (a_{n + 1})$ の場合， $L$ の方向ベクトル $(0, 1, 1)$ との内積が0であるから

(1 + a_{n + 1} - a_{n}) + a_{n + 1} = 0

すなわち

a_{n + 1} = \frac{a _{n} - 1}{2}

である。 $l$ から $m$ ， $m$ から $k$ の場合も座標の巡回置換で同じ式になる。

いま $a_{1} = 0$ であり，

a_{n + 1} + 1 = \frac{a _{n} + 1}{2}

だから

a_{n} = 2^{1 - n} - 1

である。

長さはどの遷移でも同じ形で計算できる。 $k$ から $l$ の場合を計算すると，

P_{n} P_{n + 1} = (- 1 - a_{n}, 1 + a_{n + 1} - a_{n}, a_{n + 1})

である。 $a_{n} = 2 a_{n + 1} + 1$ を用いると

P_{n} P_{n + 1} = (- 2 a_{n + 1} - 2, - a_{n + 1}, a_{n + 1})

となるので，

P_{n} P_{n + 1}^{2} = 6 a_{n + 1}^{2} + 8 a_{n + 1} + 4

である。ここに $a_{n + 1} = 2^{- n} - 1$ を代入して

P_{n} P_{n + 1}^{2} = 6 (\frac{1}{2 ^{n}} - 1)^{2} + 8 (\frac{1}{2 ^{n}} - 1) + 4 = 2 - \frac{4}{2 ^{n}} + \frac{6}{2 ^{2 n}}

を得る。

したがって

P_{n} P_{n + 1} = 2 - \frac{4}{2 ^{n}} + \frac{6}{2 ^{2 n}} (n = 1, 2, 3, \dots)

である。

解法2

(1)

k : K (t) = (1 + t, t, 0), l : L (t) = (0, 1 + t, t), m : M (t) = (t, 0, 1 + t) .

$P_{2} = L (t)$ とおくと，方向ベクトル $(0, 1, 1)$ との垂直条件から

(1 + t) + t = 0,

よって

P_{2} = (0, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) .

同様に $P_{3} = M (u)$ とおけば

u + (\frac{3}{2} + u) = 0

より

P_{3} = (- \frac{3}{4}, 0, \frac{1}{4}) .

(2)

$P_{n}$ の属する直線上での媒介変数を $a_{n}$ とする。どの遷移でも次の直線の方向ベクトルとの内積が0となる条件は

a_{n + 1} = \frac{a _{n} - 1}{2} .

$a_{1} = 0$ だから

a_{n} = 2^{1 - n} - 1.

したがって

P_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ K (a_{n}) L (a_{n}) M (a_{n}) n \equiv 1 (mod 3), n \equiv 2 (mod 3), n \equiv 0 (mod 3) .

例えば $K (a_{n})$ から $L (a_{n + 1})$ への座標差を取り， $a_{n} = 2 a_{n + 1} + 1$ を使うと

P_{n} P_{n + 1}^{2} = 6 a_{n + 1}^{2} + 8 a_{n + 1} + 4.

他の2遷移も座標の巡回置換なので同じである。 $a_{n + 1} = 2^{- n} - 1$ を代入して

P_{n} P_{n + 1} = 2 - \frac{4}{2 ^{n}} + \frac{6}{2 ^{2 n}} .

一橋大学 2017年度文系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

一橋大学 2017年度
文系数学第5問