一橋大学 2017年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

3式を引き算して， $(x - y) (x + y + z) = 0$ ， $(y - z) (x + y + z) = 0$ を得る。 $x + y + z \neq 0$ なら $x = y = z$ となって矛盾するので， $x + y + z = 0$ に帰着する。あとは $x, y$ を2次方程式の2根と見て，判別式が非負の平方数になる $z$ を調べる。

解答

第1式から第2式を引くと $x^{2} - y^{2} = y z - z x$ であるから $(x - y) (x + y + z) = 0$ を得る。同様に第2式から第3式を引くと $(y - z) (x + y + z) = 0$ である。もし $x + y + z \neq 0$ なら $x = y$ かつ $y = z$ であり， $x = y = z$ となる。しかしこのとき第1式は $x^{2} = x^{2} + 7$ となり矛盾する。したがって $x + y + z = 0$ である。

条件 $x ≦ y ≦ z$ と和が $0$ であることから $z ≧ 0$ である。また $x + y = - z$ であり，第3式から $x y = z^{2} - 7$ である。よって $x, y$ は2次方程式 $T^{2} + z T + z^{2} - 7 = 0$ の2つの整数解である。この判別式は $Δ = z^{2} - 4 (z^{2} - 7) = 28 - 3 z^{2}$ である。 $z ≧ 0$ かつ $Δ ≧ 0$ より $z = 0, 1, 2, 3$ のみを調べればよい。

$z = 0$ のとき $Δ = 28$ で平方数でない。 $z = 1$ のとき $Δ = 25$ で，解は $- 3, 2$ であるが $y ≦ z$ を満たさない。 $z = 2$ のとき $Δ = 16$ で， $(x, y) = (- 3, 1)$ を得る。 $z = 3$ のとき $Δ = 1$ で， $(x, y) = (- 2, - 1)$ を得る。

よって求める組は $(- 3, 1, 2), (- 2, - 1, 3)$ である。

別解

解法2

方針

差を取って $x + y + z = 0$ を得た後， $x = - (y + z)$ を1本目へ代入する。正定値二次形式 $y^{2} + y z + z^{2} = 7$ の整数解を直接絞り，順序条件で選ぶ。

解答

3式の差から $(x - y) (x + y + z) = 0, (y - z) (x + y + z) = 0.$ もし $x + y + z \neq 0$ なら $x = y = z$ となって $x^{2} = x^{2} + 7$ という矛盾が生じる。よって $x + y + z = 0.$ したがって $x = - (y + z)$ であり，第1式は $(y + z)^{2} = y z + 7,$ すなわち $y^{2} + y z + z^{2} = 7$ となる。左辺は ${(y + \frac{z}{2})}^{2} + \frac{3 z^{2}}{4}$ なので $∣ z ∣ ≦ 3$ である。さらに $x ≦ y ≦ z$ と和が0であることから $z ≧ 0$ だから $z = 0, 1, 2, 3$ を調べればよい。

各 $z$ について $y^{2} + z y + z^{2} - 7 = 0$ を解くと，順序条件を満たすのは $(z, y) = (2, 1), (3, - 1)$ である。 $x = - (y + z)$ を戻して $(x, y, z) = (- 3, 1, 2), (- 2, - 1, 3) .$

総評

難度5，計算量5。想定時間は18分程度。対称な連立方程式を差で崩し，和 $x + y + z = 0$ を導くところが山場である。その後は $x, y$ を2次方程式の解として扱えば探索は短くなる。採点点は， $x = y = z$ の矛盾確認， $z ≧ 0$ と判別式による候補制限，最後の順序条件 $x ≦ y ≦ z$ の確認である。

出典: 一橋大学 2017年度前期数学第2問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

一橋大学 2017年度 前期文系数学 第2問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

一橋大学 2017年度前期文系数学第2問