一橋大学 2017年度文系数学第2問解答・解説

問題

連立方程式

⎩ ⎨ ⎧ x^{2} = y z + 7 y^{2} = z x + 7 z^{2} = x y + 7

を満たす整数の組 $(x, y, z)$ で $x ≦ y ≦ z$ となるものを求めよ。

出典：一橋大学 2017年度前期文系第2問

方針

解法1

3式を引き算して， $(x - y) (x + y + z) = 0$ ， $(y - z) (x + y + z) = 0$ を得る。 $x + y + z \neq = 0$ なら $x = y = z$ となって矛盾するので， $x + y + z = 0$ に帰着する。あとは $x, y$ を2次方程式の2根と見て，判別式が非負の平方数になる $z$ を調べる。

解法2

差を取って $x + y + z = 0$ を得た後， $x = - (y + z)$ を1本目へ代入する。正定値二次形式 $y^{2} + y z + z^{2} = 7$ の整数解を直接絞り，順序条件で選ぶ。

解答

解法1

第1式から第2式を引くと

x^{2} - y^{2} = y z - z x

であるから

(x - y) (x + y + z) = 0

を得る。同様に第2式から第3式を引くと

(y - z) (x + y + z) = 0

である。もし $x + y + z \neq = 0$ なら $x = y$ かつ $y = z$ であり， $x = y = z$ となる。しかしこのとき第1式は $x^{2} = x^{2} + 7$ となり矛盾する。したがって

x + y + z = 0

である。

条件 $x ≦ y ≦ z$ と和が $0$ であることから $z ≧ 0$ である。また $x + y = - z$ であり，第3式から $x y = z^{2} - 7$ である。よって $x, y$ は2次方程式

T^{2} + z T + z^{2} - 7 = 0

の2つの整数解である。この判別式は

Δ = z^{2} - 4 (z^{2} - 7) = 28 - 3 z^{2}

である。 $z ≧ 0$ かつ $Δ ≧ 0$ より $z = 0, 1, 2, 3$ のみを調べればよい。

$z = 0$ のとき $Δ = 28$ で平方数でない。 $z = 1$ のとき $Δ = 25$ で，解は $- 3, 2$ であるが $y ≦ z$ を満たさない。 $z = 2$ のとき $Δ = 16$ で， $(x, y) = (- 3, 1)$ を得る。 $z = 3$ のとき $Δ = 1$ で， $(x, y) = (- 2, - 1)$ を得る。

よって求める組は

(- 3, 1, 2), (- 2, - 1, 3)

である。

解法2

3式の差から

(x - y) (x + y + z) = 0, (y - z) (x + y + z) = 0.

もし $x + y + z \neq = 0$ なら $x = y = z$ となって $x^{2} = x^{2} + 7$ という矛盾が生じる。よって

x + y + z = 0.

したがって $x = - (y + z)$ であり，第1式は

(y + z)^{2} = y z + 7,

すなわち

y^{2} + y z + z^{2} = 7

となる。左辺は

(y + \frac{z}{2})^{2} + \frac{3 z ^{2}}{4}

なので $∣ z ∣ ≦ 3$ である。さらに $x ≦ y ≦ z$ と和が0であることから $z ≧ 0$ だから $z = 0, 1, 2, 3$ を調べればよい。

各 $z$ について $y^{2} + z y + z^{2} - 7 = 0$ を解くと，順序条件を満たすのは

(z, y) = (2, 1), (3, - 1)

である。 $x = - (y + z)$ を戻して

(x, y, z) = (- 3, 1, 2), (- 2, - 1, 3) .

一橋大学 2017年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

一橋大学 2017年度
文系数学第2問