一橋大学 2017年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

$x^{2} - x + 1$ が条件を満たすことを先に確認し，差 $Q (x) = P (x) - (x^{2} - x + 1)$ を考える。すると $Q (x + 1) - Q (x) = 0$ となるので，周期1をもつ整式は定数に限られることを次数で示し， $Q (0) = 0$ から結論する。

解答

$x^{2} - x + 1$ について ${(x + 1)^{2} - (x + 1) + 1} - (x^{2} - x + 1) = 2 x$ であり，また $x = 0$ での値は $1$ である。そこで $Q (x) = P (x) - (x^{2} - x + 1)$ とおく。条件より $Q (x + 1) - Q (x) = 0$ であり，さらに $Q (0) = P (0) - 1 = 0$ である。

ここで $Q (x)$ が定数でないと仮定し，その次数を $d ≧ 1$ ，最高次の係数を $c \neq 0$ とする。このとき $Q (x + 1) - Q (x)$ の最高次の項は $c d x^{d - 1}$ であり，零多項式にはならない。これは $Q (x + 1) - Q (x) = 0$ に反する。したがって $Q (x)$ は定数である。 $Q (0) = 0$ だから $Q (x) = 0$ である。

よって $P (x) = x^{2} - x + 1$ である。

別解

解法2

方針

未知整式の次数を差分の次数から決め，2次式 $A x^{2} + B x + C$ とおいて係数比較する。候補を先に当てる必要がない直接解法である。

解答

$P$ の次数を $d$ とする。定数でなければ $P (x + 1) - P (x)$ の次数は $d - 1$ である。右辺 $2 x$ は1次式だから $d = 2.$ そこで $P (x) = A x^{2} + B x + C$ とおくと $P (x + 1) - P (x) = 2 A x + (A + B) .$ これが恒等的に $2 x$ に等しいので $2 A = 2, A + B = 0.$ したがって $A = 1, B = - 1$ である。また $P (0) = 1$ より $C = 1$ 。ゆえに $P (x) = x^{2} - x + 1.$

総評

難度4，計算量3。想定時間は10分程度。差分条件から候補 $x^{2} - x + 1$ を見つけ，残りの自由度がないことを示す問題である。採点点は，候補の確認，差の整式が周期1をもつこと，非定数整式では $Q (x + 1) - Q (x)$ が零にならないことの説明である。

出典: 一橋大学 2017年度前期数学第3問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

一橋大学 2017年度 前期文系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

一橋大学 2017年度前期文系数学第3問