一橋大学 2017年度文系数学第3問解答・解説

問題

$P (0) = 1, P (x + 1) - P (x) = 2 x$ を満たす整式 $P (x)$ を求めよ。

出典：一橋大学 2017年度前期文系第3問

方針

解法1

$x^{2} - x + 1$ が条件を満たすことを先に確認し，差 $Q (x) = P (x) - (x^{2} - x + 1)$ を考える。すると $Q (x + 1) - Q (x) = 0$ となるので，周期1をもつ整式は定数に限られることを次数で示し， $Q (0) = 0$ から結論する。

解法2

未知整式の次数を差分の次数から決め，2次式 $A x^{2} + B x + C$ とおいて係数比較する。候補を先に当てる必要がない直接解法である。

解答

解法1

$x^{2} - x + 1$ について

{(x + 1)^{2} - (x + 1) + 1} - (x^{2} - x + 1) = 2 x

であり，また $x = 0$ での値は $1$ である。そこで

Q (x) = P (x) - (x^{2} - x + 1)

とおく。条件より

Q (x + 1) - Q (x) = 0

であり，さらに $Q (0) = P (0) - 1 = 0$ である。

ここで $Q (x)$ が定数でないと仮定し，その次数を $d ≧ 1$ ，最高次の係数を $c \neq = 0$ とする。このとき $Q (x + 1) - Q (x)$ の最高次の項は $c d x^{d - 1}$ であり，零多項式にはならない。これは $Q (x + 1) - Q (x) = 0$ に反する。したがって $Q (x)$ は定数である。 $Q (0) = 0$ だから $Q (x) = 0$ である。

よって

P (x) = x^{2} - x + 1

である。

解法2

$P$ の次数を $d$ とする。定数でなければ $P (x + 1) - P (x)$ の次数は $d - 1$ である。右辺 $2 x$ は1次式だから

d = 2.

そこで

P (x) = A x^{2} + B x + C

とおくと

P (x + 1) - P (x) = 2 A x + (A + B) .

これが恒等的に $2 x$ に等しいので

2 A = 2, A + B = 0.

したがって $A = 1, B = - 1$ である。また $P (0) = 1$ より $C = 1$ 。ゆえに

P (x) = x^{2} - x + 1.

一橋大学 2017年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

一橋大学 2017年度
文系数学第3問