一橋大学 2017年度文系数学第4問解答・解説

問題

正の実数 $a, b, c$ は $a + b + c = 1$ を満たす。連立不等式

∣ a x + b y ∣ ≦ 1, ∣ c x - b y ∣ ≦ 1

の表す $x y$ 平面の領域を $D$ とする。 $D$ の面積の最小値を求めよ。

出典：一橋大学 2017年度前期文系第4問

方針

解法1

2つの絶対値不等式を4本の直線で囲まれる平行四辺形として見る。隣り合う2頂点を求め，1辺の長さと平行線間の距離から面積を $\frac{4}{b ( a + c )}$ と表す。条件 $a + b + c = 1$ から $a + c = 1 - b$ として， $b (1 - b)$ の最大値を使う。

解法2

新しい座標 $u = a x + b y, v = c x - b y$ を導入する。領域は $uv$ 平面の一辺2の正方形へ写るので，線形変換の行列式から面積を一度に求める。

解答

解法1

領域 $D$ は

- 1 ≦ a x + b y ≦ 1, - 1 ≦ c x - b y ≦ 1

で表されるので，2組の平行線で囲まれる平行四辺形である。

直線 $a x + b y = 1$ と $c x - b y = 1$ の交点を $P$ ，直線 $a x + b y = 1$ と $c x - b y = - 1$ の交点を $Q$ とする。連立して解くと

P = (\frac{2}{a + c}, \frac{c - a}{b ( a + c )}), Q = (0, \frac{1}{b})

である。したがって

P Q = \frac{2 a ^{2} + b ^{2}}{b ( a + c )}

である。また，平行線 $a x + b y = 1$ と $a x + b y = - 1$ の距離は

\frac{2}{a ^{2} + b ^{2}}

である。よって $D$ の面積 $S$ は

S = \frac{2 a ^{2} + b ^{2}}{b ( a + c )} \cdot \frac{2}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{4}{b ( a + c )}

となる。

条件 $a + b + c = 1$ より $a + c = 1 - b$ であり， $a, b, c$ は正だから $0 < b < 1$ である。したがって

S = \frac{4}{b ( 1 - b )}

である。ここで

b (1 - b) = - (b - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} ≦ \frac{1}{4}

だから， $S ≧ 16$ である。 $b = \frac{1}{2}$ で，例えば $a, c > 0$ かつ $a + c = \frac{1}{2}$ とすれば等号が成り立つ。よって面積の最小値は $16$ である。

解法2

u = a x + b y, v = c x - b y

とおく。領域 $D$ は $uv$ 平面では

∣ u ∣ ≦ 1, ∣ v ∣ ≦ 1

という面積4の正方形である。変換行列の行列式は

a c b - b = - b (a + c) .

したがって面積の倍率から

[D] = \frac{4}{b ( a + c )} .

条件 $a + b + c = 1$ より $a + c = 1 - b$ だから

[D] = \frac{4}{b ( 1 - b )} .

$0 < b < 1$ であり，

b (1 - b) ≦ \frac{1}{4}

なので

[D] ≧ 16.

$b = 1/2$ ， $a + c = 1/2$ となる正の $a, c$ を選べば等号が成立する。よって最小値は

16

である。

一橋大学 2017年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

一橋大学 2017年度
文系数学第4問