一橋大学 2017年度 前期文系数学 第4問

領域 $D$ は$$-1\leqq ax+by\leqq 1,-1\leqq cx-by\leqq 1$$で表されるので，2組の平行線で囲まれる平行四辺形である。

直線 $ax+by=1$ と $cx-by=1$ の交点を $P$，直線 $ax+by=1$ と $cx-by=-1$ の交点を $Q$ とする。連立して解くと$$P=(\frac{2}{a+c},\frac{c-a}{b(a+c)}),Q=(0,\frac{1}{b})$$である。したがって$$PQ=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}}{b(a+c)}$$である。また，平行線 $ax+by=1$ と $ax+by=-1$ の距離は$$\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}$$である。よって $D$ の面積 $S$ は$$S=\frac{2\sqrt{a^2+b^2}}{b(a+c)}\cdot \frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{4}{b(a+c)}$$となる。

条件 $a+b+c=1$ より $a+c=1-b$ であり，$a,b,c$ は正だから $0<b<1$ である。したがって$$S=\frac{4}{b(1-b)}$$である。ここで$$b(1-b)=-{(b-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{4}\leqq \frac{1}{4}$$だから，$S\geqq 16$ である。$b=\frac{1}{2}$ で，例えば $a,c>0$ かつ $a+c=\frac{1}{2}$ とすれば等号が成り立つ。よって面積の最小値は $16$ である。

新しい座標 $u=ax+by,v=cx-by$ を導入する。領域は $uv$ 平面の一辺2の正方形へ写るので，線形変換の行列式から面積を一度に求める。

$$u=ax+by,v=cx-by$$とおく。領域 $D$ は $uv$ 平面では$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\leqq 1,\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\leqq 1$$という面積4の正方形である。変換行列の行列式は$$\mid \begin{array}{cc}a& b\\ c& -b\end{array}\mid =-b(a+c)\mathrm{.}$$したがって面積の倍率から$$[D]=\frac{4}{b(a+c)}\mathrm{.}$$条件 $a+b+c=1$ より $a+c=1-b$ だから$$[D]=\frac{4}{b(1-b)}\mathrm{.}$$$0<b<1$ であり，$$b(1-b)\leqq \frac{1}{4}$$なので$$[D]\geqq 16.$$$b=1\mathrm{/}2$，$a+c=1\mathrm{/}2$ となる正の $a,c$ を選べば等号が成立する。よって最小値は$$16$$である。