一橋大学 2018年度文系数学第1問解答・解説

問題

正の整数 $n$ の各位の数の和を $S (n)$ で表す。たとえば

S (3) = 3, S (10) = 1 + 0 = 1, S (516) = 5 + 1 + 6 = 12

である。

(1) $n ≧ 10000$ のとき，不等式

n > 30 S (n) + 2018

を示せ。

(2) 方程式

n = 30 S (n) + 2018

を満たす $n$ を求めよ。

出典：一橋大学 2018年度前期文系第1問

方針

解法1

(1)では桁数を固定し，各位の和を $9 \times 桁数$ で上から評価する。(2)では (1) により4桁以下へ絞り，一の位が $8$ であることから各桁を文字で置いて，桁の範囲を使って順に決定する。

解法2

(2)を桁ごとに置かず， $n \equiv S (n) (mod 9)$ を利用する。等式から $S (n) \equiv 8 (mod 9)$ を得れば，4桁の範囲で各位の和の候補は4個しかなく，対応する $n$ を直接確認できる。

解答

解法1

(1)

$n$ が $k + 1$ 桁であるとする。 $n ≧ 10000$ より $k ≧ 4$ であり

1 0^{k} ≦ n < 1 0^{k + 1}

である。各位の数は高々 $9$ だから

S (n) ≦ 9 (k + 1) .

ここで

H (k) = 1 0^{k} - {270 (k + 1) + 2018}

とおく。

H (4) = 10000 - 3368 > 0

であり， $k ≧ 4$ に対して

H (k + 1) - H (k) = 9 \cdot 1 0^{k} - 270 > 0.

したがって $H (k) > 0$ ，すなわち

1 0^{k} > 270 (k + 1) + 2018

が成り立つ。ゆえに

n ≧ 1 0^{k} > 30 \cdot 9 (k + 1) + 2018 ≧ 30 S (n) + 2018.

これで示された。

(2)

(1) より，解は $n < 10000$ に限られる。また右辺を $10$ で割った余りは $8$ だから， $n$ の一の位は $8$ である。そこで

n = 1000 a + 100 b + 10 c + 8 (0 ≦ a, b, c ≦ 9)

とおく。このとき

S (n) = a + b + c + 8.

元の等式に代入すると

1000 a + 100 b + 10 c + 8 = 30 (a + b + c + 8) + 2018,

したがって

7 b - 2 c = 225 - 97 a .

左辺は

- 18 ≦ 7 b - 2 c ≦ 63

を満たすので

- 18 ≦ 225 - 97 a ≦ 63.

これより

a = 2

に限られる。すると

7 b - 2 c = 31.

$0 ≦ c ≦ 9$ より

31 ≦ 7 b ≦ 49

だから $b = 5, 6, 7$ を調べればよい。それぞれ

(b, c) = (5, 2), c = \frac{11}{2}, (b, c) = (7, 9)

となる。整数条件を満たすのは2組である。

実際に各位の和を確かめると

2528 = 30 (2 + 5 + 2 + 8) + 2018,

2798 = 30 (2 + 7 + 9 + 8) + 2018.

よって求める整数は

2528, 2798

である。

解法2

(1)

$n$ が $k + 1$ 桁なら

n ≧ 1 0^{k}, S (n) ≦ 9 (k + 1) .

$k = 4$ では

1 0^{4} > 270 \cdot 5 + 2018.

また $k$ を1増やすと左辺は10倍になる一方，右辺の増加は $270$ だけである。より正確には

{1 0^{k + 1} - 270 (k + 2) - 2018} - {1 0^{k} - 270 (k + 1) - 2018} = 9 \cdot 1 0^{k} - 270 > 0.

したがって $k ≧ 4$ では

1 0^{k} > 270 (k + 1) + 2018 ≧ 30 S (n) + 2018.

よって $n > 30 S (n) + 2018$ である。

(2)

等式を満たす $n$ は (1) より $n < 10000$ である。一方 $S (n) ≧ 1$ なので

n = 30 S (n) + 2018 ≧ 2048.

したがって $n$ は4桁であり

1 ≦ S (n) ≦ 36.

任意の整数は各位の和と $9$ を法として合同だから

n \equiv S (n) (mod 9) .

一方，元の等式から

n \equiv 30 S (n) + 2018 \equiv 3 S (n) + 2 (mod 9) .

よって

S (n) \equiv 3 S (n) + 2 (mod 9),

すなわち

S (n) \equiv 8 (mod 9) .

$1 ≦ S (n) ≦ 36$ と合わせると

S (n) = 8, 17, 26, 35

のいずれかである。

等式 $n = 30 S (n) + 2018$ から対応する $n$ と実際の各位の和を調べると

S (n) の候補 8172635 n 2258252827983068 n の各位の和 17172617

となる。候補と実際の各位の和が一致するのは

n = 2528, n = 2798

である。

一橋大学 2018年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

一橋大学 2018年度
文系数学第1問