一橋大学 2018年度 前期文系数学 第1問

(1)

$n$ が $k+1$ 桁であるとする。$n\geqq 10000$ より $k\geqq 4$ であり$${10}^k\leqq n<{10}^{k+1}$$である。各位の数は高々 $9$ だから$$S(n)\leqq 9(k+1)\mathrm{.}$$ここで$$H(k)={10}^k-\{270(k+1)+2018\}$$とおく。$$H(4)=10000-3368>0$$であり，$k\geqq 4$ に対して$$H(k+1)-H(k)=9\cdot {10}^k-270>0.$$したがって $H(k)>0$，すなわち$${10}^k>270(k+1)+2018$$が成り立つ。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n}& {\displaystyle \geqq {10}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >30\cdot 9(k+1)+2018}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 30S(n)+2018.}\end{array}$$これで示された。

(2)

(1) より，解は $n<10000$ に限られる。また右辺を $10$ で割った余りは $8$ だから，$n$ の一の位は $8$ である。そこで$$n=1000a+100b+10c+8(0\leqq a,b,c\leqq 9)$$とおく。このとき$$S(n)=a+b+c+8.$$元の等式に代入すると$$1000a+100b+10c+8=30(a+b+c+8)+2018,$$したがって$$7b-2c=225-97a\mathrm{.}$$左辺は$$-18\leqq 7b-2c\leqq 63$$を満たすので$$-18\leqq 225-97a\leqq 63.$$これより$$a=2$$に限られる。すると$$7b-2c=31.$$$0\leqq c\leqq 9$ より$$31\leqq 7b\leqq 49$$だから $b=5,6,7$ を調べればよい。それぞれ$$(b,c)=(5,2),c=\frac{11}{2},(b,c)=(7,9)$$となる。整数条件を満たすのは2組である。

実際に各位の和を確かめると$$2528=30(2+5+2+8)+2018,$$$$2798=30(2+7+9+8)+2018.$$よって求める整数は$$2528,2798$$である。

(2) を桁ごとに置かず，$n\equiv S(n)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ を利用する。等式から $S(n)\equiv 8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ を得れば，4桁の範囲で各位の和の候補は4個しかなく，対応する $n$ を直接確認できる。

(1)

$n$ が $k+1$ 桁なら$$n\geqq {10}^k,S(n)\leqq 9(k+1)\mathrm{.}$$$k=4$ では$${10}^4>270\cdot 5+2018.$$また $k$ を1増やすと左辺は10倍になる一方，右辺の増加は $270$ だけである。より正確には$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \{{10}^{k+1}-270(k+2)-2018\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -\{{10}^k-270(k+1)-2018\}=9\cdot {10}^k-270>0.}\end{array}$$したがって $k\geqq 4$ では$${10}^k>270(k+1)+2018\geqq 30S(n)+2018.$$よって $n>30S(n)+2018$ である。

(2)

等式を満たす $n$ は (1) より $n<10000$ である。一方 $S(n)\geqq 1$ なので$$n=30S(n)+2018\geqq 2048.$$したがって $n$ は4桁であり$$1\leqq S(n)\leqq 36.$$任意の整数は各位の和と $9$ を法として合同だから$$n\equiv S(n)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)\mathrm{.}$$一方，元の等式から$$n\equiv 30S(n)+2018\equiv 3S(n)+2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)\mathrm{.}$$よって$$S(n)\equiv 3S(n)+2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9),$$すなわち$$S(n)\equiv 8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)\mathrm{.}$$$1\leqq S(n)\leqq 36$ と合わせると$$S(n)=8,17,26,35$$のいずれかである。

等式 $n=30S(n)+2018$ から対応する $n$ と実際の各位の和を調べると$$\begin{array}{ccc}S(n)\text{ の候補}& n& n\text{ の各位の和}\\ 8& 2258& 17\\ 17& 2528& 17\\ 26& 2798& 26\\ 35& 3068& 17\end{array}$$となる。候補と実際の各位の和が一致するのは$$n=2528,n=2798$$である。