一橋大学 2018年度 前期文系数学 第5問

(1)

2曲線の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-g(x)}& {\displaystyle =x-x^3-a(x-x^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(1-x)(x+1-a)\mathrm{.}}\end{array}$$$0<x<1$ では $x(1-x)>0$ だから，この範囲の共有点は$$x+1-a=0,x=a-1$$である。この点が $0<x<1$ に入る条件は$$0<a-1<1.$$したがって$$1<a<2.$$(2)

$c=a-1$ とおくと $0<c<1$ であり$$f(x)-g(x)=x(1-x)(x-c)\mathrm{.}$$よって$$0<x<c$$では $f(x)<g(x)$，$$c<x<1$$では $f(x)>g(x)$ である。2つの領域の面積が等しいことは$${\int }_0^1\{f(x)-g(x)\}dx=0$$と同値である。

実際に計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\{f(x)-g(x)\}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^1(x^2-x^3)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(1-a){\int }_0^1(x-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(1-a)(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3-2a}{12}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$3-2a=0,a=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$これは $1<a<2$ を満たす。

よって求める値は$$a=\frac{3}{2}$$である。

差を $x(1-x)(x-c)$ と書き，$x(1-x)$ を区間 $[0,1]$ の中央に関して対称な重みとみなす。面積等分点 $c$ はこの重みの重心に当たり，置換 $x\mapsto 1-x$ だけで $c=1\mathrm{/}2$ と分かる。

(1) $$f(x)-g(x)=x(1-x)(x+1-a)$$である。$0<x<1$ では $x(1-x)>0$ なので，内部の共有点は$$x=a-1.$$これが $0$ と $1$ の間にあるための条件は$$1<a<2.$$(2)$$c=a-1,w(x)=x(1-x)$$とおく。すると$$f(x)-g(x)=w(x)(x-c)$$であり，$w(x)>0$ $(0<x<1)$ である。左右の面積が等しい条件は$${\int }_0^{c}w(x)(c-x)dx={\int }_c^{1}w(x)(x-c)dx\mathrm{.}$$両辺を移項すると$${\int }_0^{1}w(x)(x-c)dx=0.$$したがって$$c=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{1}xw(x)dx}}{{\displaystyle {\int }_0^{1}w(x)dx}}\mathrm{.}$$ここで$$w(1-x)=(1-x)x=w(x)$$だから，置換 $x=1-u$ により$${\int }_0^{1}xw(x)dx={\int }_0^1(1-x)w(x)dx\mathrm{.}$$両辺を加えると$$2{\int }_0^{1}xw(x)dx={\int }_0^{1}w(x)dx\mathrm{.}$$よって$$c=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$$c=a-1$ だったから$$a=1+c=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$これは (1) の範囲に入るので，求める値は$$a=\frac{3}{2}$$である。