一橋大学 2018年度文系数学第2問解答・解説

問題

$- 1 ≦ t ≦ 1$ とし，放物線

y = \frac{x ^{2} - 1}{2}

上の点

(t, \frac{t ^{2} - 1}{2})

における接線を $l$ とする。半円

x^{2} + y^{2} = 1, y ≦ 0

と $l$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。 $S$ のとりうる値の範囲を求めよ。

出典：一橋大学 2018年度前期文系第2問

接線 $l$ と原点との距離 $d$ を求める。単位円の弦が中心から距離 $d$ にあるとき，半弦を見込む角を $θ$ とすれば $cos θ = d$ であり，円弧と弦で囲まれる面積を扇形と三角形の差で表せる。

円を回転して弦を鉛直にした模式図で考える。中心から弦までの距離 $d$ が大きくなるほど円弧部分は包含関係により小さくなるので，微分せずに $d$ の最小・最大だけを調べ，両端の面積を扇形と三角形から計算する。

曲線の導関数は

y^{'} = x

である。したがって，指定された点における接線 $l$ は

y - \frac{t ^{2} - 1}{2} = t (x - t),

すなわち

t x - y - \frac{t ^{2} + 1}{2} = 0

である。

原点から $l$ までの距離を $d$ とすると

d = \frac{( t ^{2} + 1 ) /2}{t ^{2} + 1} = \frac{t ^{2} + 1}{2} .

$- 1 ≦ t ≦ 1$ より

\frac{1}{2} ≦ d ≦ \frac{2}{2} .

円の中心から弦 $l$ に下ろした垂線と，交点へ引いた半径とのなす角を $θ$ とする。半径は $1$ だから

cos θ = d .

よって

\frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{π}{3} .

対応する中心角は $2 θ$ である。したがって面積は，扇形から二等辺三角形を引いて

S = θ - \frac{1}{2} sin 2 θ .

F (θ) = θ - \frac{1}{2} sin 2 θ

とおくと

F^{'} (θ) = 1 - cos 2 θ = 2 sin^{2} θ > 0

である。よって $F$ は上の範囲で単調増加する。

端点での値は

F (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} - \frac{1}{2},

F (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} - \frac{3}{4} .

したがって

\frac{π}{4} - \frac{1}{2} ≦ S ≦ \frac{π}{3} - \frac{3}{4}

である。

接線 $l$ は

t x - y - \frac{t ^{2} + 1}{2} = 0

であり，原点からの距離は

d = \frac{t ^{2} + 1}{2} .

したがって

\frac{1}{2} ≦ d ≦ \frac{2}{2} .

$d = 1/2$ は $t = 0$ のとき， $d = 2 /2$ は $t = \pm 1$ のときに実現する。また $d$ は連続に変化する。

単位円を中心のまわりに回転し，弦を

x = d

と重ねても，弦と円弧で囲まれる面積は変わらない。この図では $d$ が大きいほど弦が円周側へ移り，対応する円弧部分は小さい円弧部分に含まれる。したがって $S$ は $d$ の減少とともに増加する。

まず

d = \frac{2}{2}

のとき，弦の両端を結ぶ2本の半径がなす中心角は $π /2$ である。扇形の面積は $π /4$ ，2本の半径がつくる三角形の面積は $1/2$ だから

S_{m i n} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} .

次に

d = \frac{1}{2}

のとき，中心角は $2 π /3$ である。扇形の面積は $π /3$ であり，二等辺三角形の底辺は $3$ ，高さは $1/2$ だから

S_{m a x} = \frac{π}{3} - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \frac{3}{4} .

$d$ は区間内を連続に動くので，面積も両端の間のすべての値をとる。よって

\frac{π}{4} - \frac{1}{2} ≦ S ≦ \frac{π}{3} - \frac{3}{4} .