一橋大学 2018年度 前期文系数学 第2問

曲線の導関数は$$y^{\mathrm{\prime }}=x$$である。したがって，指定された点における接線 $l$ は$$y-\frac{t^2-1}{2}=t(x-t),$$すなわち$$tx-y-\frac{t^2+1}{2}=0$$である。

原点から $l$ までの距離を $d$ とすると$$d=\frac{(t^2+1)\mathrm{/}2}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{\sqrt{t^2+1}}{2}\mathrm{.}$$$-1\leqq t\leqq 1$ より$$\frac{1}{2}\leqq d\leqq \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$円の中心から弦 $l$ に下ろした垂線と，交点へ引いた半径とのなす角を $\theta$ とする。半径は $1$ だから$$\cos \theta =d\mathrm{.}$$よって$$\frac{\pi }{4}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$対応する中心角は $2\theta$ である。したがって面積は，扇形から二等辺三角形を引いて$$S=\theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta \mathrm{.}$$$$F(\theta )=\theta -\frac{1}{2}\sin 2\theta$$とおくと$$F^{\mathrm{\prime }}(\theta )=1-\cos 2\theta =2{\sin }^2\theta >0$$である。よって $F$ は上の範囲で単調増加する。

端点での値は$$F\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2},$$$$F\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{.}$$したがって$$\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\leqq S\leqq \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$$である。

円を回転して弦を鉛直にした模式図で考える。中心から弦までの距離 $d$ が大きくなるほど円弧部分は包含関係により小さくなるので，微分せずに $d$ の最小・最大だけを調べ，両端の面積を扇形と三角形から計算する。

接線 $l$ は$$tx-y-\frac{t^2+1}{2}=0$$であり，原点からの距離は$$d=\frac{\sqrt{t^2+1}}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\frac{1}{2}\leqq d\leqq \frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$$d=1\mathrm{/}2$ は $t=0$ のとき，$d=\sqrt{2}\mathrm{/}2$ は $t=\pm 1$ のときに実現する。また $d$ は連続に変化する。

単位円を中心のまわりに回転し，弦を$$x=d$$と重ねても，弦と円弧で囲まれる面積は変わらない。この図では $d$ が大きいほど弦が円周側へ移り，対応する円弧部分は小さい円弧部分に含まれる。したがって $S$ は $d$ の減少とともに増加する。

まず$$d=\frac{\sqrt{2}}{2}$$のとき，弦の両端を結ぶ2本の半径がなす中心角は $\pi \mathrm{/}2$ である。扇形の面積は $\pi \mathrm{/}4$，2本の半径がつくる三角形の面積は $1\mathrm{/}2$ だから$$S_{\min }=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$次に$$d=\frac{1}{2}$$のとき，中心角は $2\pi \mathrm{/}3$ である。扇形の面積は $\pi \mathrm{/}3$ であり，二等辺三角形の底辺は $\sqrt{3}$，高さは $1\mathrm{/}2$ だから$$S_{\max }=\frac{\pi }{3}-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{.}$$$d$ は区間内を連続に動くので，面積も両端の間のすべての値をとる。よって$$\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\leqq S\leqq \frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{.}$$