一橋大学 2018年度文系数学第4問解答・解説

問題

$p, q$ を正の実数とする。原点を $O$ とする座標空間内の3点

P (p, 0, 0), Q (0, q, 0), R (0, 0, 1)

は

∠ P R Q = \frac{π}{6}

を満たす。四面体 $O P QR$ の体積の最大値を求めよ。

出典：一橋大学 2018年度前期文系第4問

角条件を $R P$ と $R Q$ の内積で表し， $p, q$ の条件式を得る。体積は $pq /6$ なので $u = pq$ の最大化に帰着し， $p^{2} + q^{2} ≧ 2 pq$ と等号条件を用いる。

$x = p^{2}, y = q^{2}$ とおいて角条件を $(x + 1) (y + 1) = 4/3$ とする。 $y$ を $x$ で表し，体積の2乗に比例する $x y$ を1変数関数として微分し，最大点を直接求める。

R P = (p, 0, - 1), R Q = (0, q, - 1) .

したがって

R P \cdot R Q = 1.

一方， $∠ P R Q = π /6$ だから

1 = p^{2} + 1 q^{2} + 1 cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} p^{2} + 1 q^{2} + 1 .

両辺を2乗して

(p^{2} + 1) (q^{2} + 1) = \frac{4}{3} .

これを展開すると

p^{2} q^{2} + p^{2} + q^{2} = \frac{1}{3} .

$O P, O Q, O R$ は互いに直交し，それぞれの長さは $p, q, 1$ である。したがって体積 $V$ は

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} pq \cdot 1 = \frac{1}{6} pq .

ここで

u = pq

とおく。 $(p - q)^{2} ≧ 0$ より

p^{2} + q^{2} ≧ 2 pq = 2 u .

条件式と合わせると

u^{2} + 2 u ≦ \frac{1}{3},

すなわち

u^{2} + 2 u - \frac{1}{3} ≦ 0.

$u > 0$ だから

0 < u ≦ \frac{2}{3} - 1.

等号は $p = q$ のときに成り立つ。実際

p^{2} = q^{2} = \frac{2}{3} - 1

とすれば，正の $p, q$ が存在して元の条件式を満たす。よって

V_{m a x} = \frac{1}{6} (\frac{2}{3} - 1) = \frac{2 3 - 3}{18} .

内積から得られる条件は

(p^{2} + 1) (q^{2} + 1) = \frac{4}{3} .

ここで

x = p^{2}, y = q^{2}

とおくと $x, y > 0$ であり

(x + 1) (y + 1) = \frac{4}{3} .

したがって

y = \frac{1 - 3 x}{3 ( x + 1 )} .

$y > 0$ より

0 < x < \frac{1}{3} .

体積は

V = \frac{1}{6} pq,

したがって $V^{2}$ は $x y$ に比例する。そこで

Φ (x) = x y = \frac{x ( 1 - 3 x )}{3 ( x + 1 )}

を最大化する。微分すると

Φ^{'} (x) = \frac{1 - 6 x - 3 x ^{2}}{3 ( x + 1 ) ^{2}} .

分母は正であり，分子は

1 - 6 x - 3 x^{2} = 0

の正の解

x = \frac{2}{3} - 1

を境に正から負へ変わる。したがって $Φ (x)$ はこの点で最大となる。

条件式は $x, y$ について対称である。上の $x$ を代入すると

y = x = \frac{2}{3} - 1.

ゆえに

pq = x y = \frac{2}{3} - 1

であり

V_{m a x} = \frac{1}{6} (\frac{2}{3} - 1) = \frac{2 3 - 3}{18} .