一橋大学 2018年度 前期文系数学 第4問

$$\overrightarrow{RP}=(p,0,-1),\overrightarrow{RQ}=(0,q,-1)\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}=1.$$一方，$\mathrm{\angle }PRQ=\pi \mathrm{/}6$ だから$$1=\sqrt{p^2+1}\sqrt{q^2+1}\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{p^2+1}\sqrt{q^2+1}\mathrm{.}$$両辺を2乗して$$(p^2+1)(q^2+1)=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$これを展開すると$$p^2{q}^2+p^2+q^2=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$$OP,OQ,OR$ は互いに直交し，それぞれの長さは $p,q,1$ である。したがって体積 $V$ は$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}pq\cdot 1=\frac{1}{6}pq\mathrm{.}$$ここで$$u=pq$$とおく。$(p-q{)}^2\geqq 0$ より$$p^2+q^2\geqq 2pq=2u\mathrm{.}$$条件式と合わせると$$u^2+2u\leqq \frac{1}{3},$$すなわち$$u^2+2u-\frac{1}{3}\leqq 0.$$$u>0$ だから$$0<u\leqq \frac{2}{\sqrt{3}}-1.$$等号は $p=q$ のときに成り立つ。実際$$p^2=q^2=\frac{2}{\sqrt{3}}-1$$とすれば，正の $p,q$ が存在して元の条件式を満たす。よって$$V_{\max }=\frac{1}{6}(\frac{2}{\sqrt{3}}-1)=\frac{2\sqrt{3}-3}{18}\mathrm{.}$$

$x=p^2,y=q^2$ とおいて角条件を $(x+1)(y+1)=4\mathrm{/}3$ とする。$y$ を $x$ で表し，体積の2乗に比例する $xy$ を1変数関数として微分し，最大点を直接求める。

内積から得られる条件は$$(p^2+1)(q^2+1)=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$ここで$$x=p^2,y=q^2$$とおくと $x,y>0$ であり$$(x+1)(y+1)=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$したがって$$y=\frac{1-3x}{3(x+1)}\mathrm{.}$$$y>0$ より$$0<x<\frac{1}{3}\mathrm{.}$$体積は$$V=\frac{1}{6}pq,$$したがって $V^2$ は $xy$ に比例する。そこで$$\mathrm{\Phi }(x)=xy=\frac{x(1-3x)}{3(x+1)}$$を最大化する。微分すると$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1-6x-3x^2}{3(x+1{)}^2}\mathrm{.}$$分母は正であり，分子は$$1-6x-3x^2=0$$の正の解$$x=\frac{2}{\sqrt{3}}-1$$を境に正から負へ変わる。したがって $\mathrm{\Phi }(x)$ はこの点で最大となる。

条件式は $x,y$ について対称である。上の $x$ を代入すると$$y=x=\frac{2}{\sqrt{3}}-1.$$ゆえに$$pq=\sqrt{xy}=\frac{2}{\sqrt{3}}-1$$であり$$V_{\max }=\frac{1}{6}(\frac{2}{\sqrt{3}}-1)=\frac{2\sqrt{3}-3}{18}\mathrm{.}$$