一橋大学 2018年度文系数学第3問解答・解説

問題

3個のさいころを投げる。

(1) 出た目の積が $6$ となる確率を求めよ。

(2) 出た目の積が $k$ となる確率が

\frac{1}{36}

であるような $k$ をすべて求めよ。

出典：一橋大学 2018年度前期文系第3問

方針

解法1

3個の目を小さい順に並べた組で分類し，実際の順序数を $6, 3, 1$ 通りに分ける。確率 $1/36$ は順序つきで6通りなので，「相異なる3数の表し方が1個」または「2数が等しい表し方が2個」の場合を漏れなく調べる。

解法2

2個のさいころの積が $m$ となる順序つきの出方を $A_{2} (m)$ とし，3個の場合を $A_{3} (k) = \sum A_{2} (k / d)$ で求める。2個の積の度数表を先に作れば，候補の漏れなく $A_{3} (k) = 6$ を判定できる。

解答

解法1

(1)

積が $6$ となる目を小さい順に並べると

(1, 1, 6), (1, 2, 3)

である。前者の順序は $3$ 通り，後者の順序は $6$ 通りだから，順序つきでは合計 $9$ 通りである。全事象は $6^{3}$ 通りなので

\frac{9}{6 ^{3}} = \frac{1}{24} .

(2)

確率が $1/36$ であることは，順序つきの出方が

6^{3} \cdot \frac{1}{36} = 6

通りであることと同値である。

目を小さい順に $a ≦ b ≦ c$ と並べる。3数がすべて異なる1組は順序つきで $6$ 通り，ちょうど2数が等しい1組は $3$ 通り，3数がすべて等しい1組は $1$ 通りを与える。したがって合計が $6$ 通りになる可能性は，次の2種類だけである。

A : B : 相異なる 3 数の表し方がちょうど 1 個, 2 数が等しい表し方がちょうど 2 個 .

まず A を調べる。相異なる3数の選び方は20通りである。このうち，候補になるものは

(a, b, c) ab c (1, 2, 5) 10 (1, 3, 5) 15 (2, 4, 5) 40 (3, 5, 6) 90 (4, 5, 6) 120

である。実際，残りの積には次のような別表示があり，順序つきの出方が6通りを超える。

61220304872 (1, 1, 6) (2, 2, 3) (2, 2, 5) (2, 3, 5) (3, 4, 4) (2, 6, 6) 818243660 (2, 2, 2) (2, 3, 3) (2, 2, 6) (1, 6, 6) (2, 5, 6), (3, 4, 5)

たとえば積 $12, 24, 30, 60$ は相異なる3数による表し方自体も複数ある。よって A から

k = 10, 15, 40, 90, 120

を得る。

次に B を調べる。2数が等しい組を有限個列挙すると，同じ積を与える2組は

1 \cdot 1 \cdot 4 = 1 \cdot 2 \cdot 2 = 4,

1 \cdot 4 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 16,

1 \cdot 6 \cdot 6 = 3 \cdot 3 \cdot 4 = 36

である。最後の $36$ には相異なる3数の表し方

2 \cdot 3 \cdot 6 = 36

もあるので，順序つきの出方は $3 + 3 + 6 = 12$ 通りとなり除外される。したがって B から

k = 4, 16

を得る。

以上より

k = 4, 10, 15, 16, 40, 90, 120

である。

解法2

(1)

2個のさいころの積が $m$ となる順序つきの出方を $A_{2} (m)$ とする。3個目の目を $d$ とすると

A_{3} (k) = 1 ≦ d ≦ 6 d ∣ k \sum A_{2} (\frac{k}{d}) .

$k = 6$ では

A_{3} (6) = A_{2} (6) + A_{2} (3) + A_{2} (2) + A_{2} (1) = 4 + 2 + 2 + 1 = 9.

したがって確率は

\frac{A _{3} ( 6 )}{6 ^{3}} = \frac{9}{216} = \frac{1}{24} .

(2)

2個のさいころについて，積として現れる値と度数は次の通りである。

m A_{2} (m) 1122324352648291102

m A_{2} (m) 124152161182202242251302361

表にない $m$ については $A_{2} (m) = 0$ である。

確率 $1/36$ に対応する条件は

A_{3} (k) = 6.

上の有限表を使い， $k = d m$ $(1 ≦ d ≦ 6)$ を順に調べると，度数が6になるものは次の7個である。

k 41015164090120 A_{3} (k) の計算 A_{2} (4) + A_{2} (2) + A_{2} (1) A_{2} (10) + A_{2} (5) + A_{2} (2) A_{2} (15) + A_{2} (5) + A_{2} (3) A_{2} (16) + A_{2} (8) + A_{2} (4) A_{2} (40) + A_{2} (20) + A_{2} (10) + A_{2} (8) A_{2} (90) + A_{2} (45) + A_{2} (30) + A_{2} (18) + A_{2} (15) A_{2} (120) + A_{2} (60) + A_{2} (40) + A_{2} (30) + A_{2} (24) + A_{2} (20) A_{3} (k) 6666666

各行では， $k$ の約数のうち $1$ から $6$ までのものだけを3個目の目 $d$ として用いている。表にある全ての $m$ に $d = 1, \dots, 6$ を掛けた有限個の候補を調べているので，漏れはない。

よって

k = 4, 10, 15, 16, 40, 90, 120

である。

一橋大学 2018年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

一橋大学 2018年度
文系数学第3問