一橋大学 2018年度 前期文系数学 第3問

(1)

積が $6$ となる目を小さい順に並べると$$(1,1,6),(1,2,3)$$である。前者の順序は $3$ 通り，後者の順序は $6$ 通りだから，順序つきでは合計 $9$ 通りである。全事象は $6^3$ 通りなので$$\frac{9}{6^3}=\frac{1}{24}\mathrm{.}$$(2)

確率が $1\mathrm{/}36$ であることは，順序つきの出方が$$6^3\cdot \frac{1}{36}=6$$通りであることと同値である。

目を小さい順に $a\leqq b\leqq c$ と並べる。3数がすべて異なる1組は順序つきで $6$ 通り，ちょうど2数が等しい1組は $3$ 通り，3数がすべて等しい1組は $1$ 通りを与える。したがって合計が $6$ 通りになる可能性は，次の2種類だけである。$$\begin{array}{ll}\mathrm{A}:& \text{相異なる3数の表し方がちょうど1個},\\ \mathrm{B}:& \text{2数が等しい表し方がちょうど2個}\mathrm{.}\end{array}$$まず A を調べる。相異なる3数の選び方は20通りである。このうち，候補になるものは$$\begin{array}{cccccc}(a,b,c)& (1,2,5)& (1,3,5)& (2,4,5)& (3,5,6)& (4,5,6)\\ abc& 10& 15& 40& 90& 120\end{array}$$である。実際，残りの積には次のような別表示があり，順序つきの出方が6通りを超える。$$\begin{array}{cccc}6& (1,1,6)& 8& (2,2,2)\\ 12& (2,2,3)& 18& (2,3,3)\\ 20& (2,2,5)& 24& (2,2,6)\\ 30& (2,3,5)& 36& (1,6,6)\\ 48& (3,4,4)& 60& (2,5,6),(3,4,5)\\ 72& (2,6,6)& & \end{array}$$たとえば積 $12,24,30,60$ は相異なる3数による表し方自体も複数ある。よって A から$$k=10,15,40,90,120$$を得る。

次に B を調べる。2数が等しい組を有限個列挙すると，同じ積を与える2組は$$1\cdot 1\cdot 4=1\cdot 2\cdot 2=4,$$$$1\cdot 4\cdot 4=2\cdot 2\cdot 4=16,$$$$1\cdot 6\cdot 6=3\cdot 3\cdot 4=36$$である。最後の $36$ には相異なる3数の表し方$$2\cdot 3\cdot 6=36$$もあるので，順序つきの出方は $3+3+6=12$ 通りとなり除外される。したがって B から$$k=4,16$$を得る。

以上より$$k=4,10,15,16,40,90,120$$である。

2個のさいころの積が $m$ となる順序つきの出方を $A_2(m)$ とし，3個の場合を $A_3(k)=\sum A_2(k\mathrm{/}d)$ で求める。2個の積の度数表を先に作れば，候補の漏れなく $A_3(k)=6$ を判定できる。

(1)

2個のさいころの積が $m$ となる順序つきの出方を $A_2(m)$ とする。3個目の目を $d$ とすると$$A_3(k)=\sum _{\begin{array}{c}1\leqq d\leqq 6\\ d\mid k\end{array}}{A}_2\left(\frac{k}{d}\right)\mathrm{.}$$$k=6$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A_3(6)}& {\displaystyle =A_2(6)+A_2(3)+A_2(2)+A_2(1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+2+2+1=9.}\end{array}$$したがって確率は$$\frac{A_3(6)}{6^3}=\frac{9}{216}=\frac{1}{24}\mathrm{.}$$(2)

2個のさいころについて，積として現れる値と度数は次の通りである。$$\begin{array}{crrrrrrrrr}m& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 8& 9& 10\\ A_2(m)& 1& 2& 2& 3& 2& 4& 2& 1& 2\end{array}$$$$\begin{array}{crrrrrrrrr}m& 12& 15& 16& 18& 20& 24& 25& 30& 36\\ A_2(m)& 4& 2& 1& 2& 2& 2& 1& 2& 1\end{array}$$表にない $m$ については $A_2(m)=0$ である。

確率 $1\mathrm{/}36$ に対応する条件は$$A_3(k)=6.$$上の有限表を使い，$k=dm$ $(1\leqq d\leqq 6)$ を順に調べると，度数が6になるものは次の7個である。$$\begin{array}{clc}k& A_3(k)\text{ の計算}& A_3(k)\\ 4& A_2(4)+A_2(2)+A_2(1)& 6\\ 10& A_2(10)+A_2(5)+A_2(2)& 6\\ 15& A_2(15)+A_2(5)+A_2(3)& 6\\ 16& A_2(16)+A_2(8)+A_2(4)& 6\\ 40& A_2(40)+A_2(20)+A_2(10)+A_2(8)& 6\\ 90& A_2(90)+A_2(45)+A_2(30)+A_2(18)+A_2(15)& 6\\ 120& A_2(120)+A_2(60)+A_2(40)+A_2(30)+A_2(24)+A_2(20)& 6\end{array}$$各行では，$k$ の約数のうち $1$ から $6$ までのものだけを3個目の目 $d$ として用いている。表にある全ての $m$ に $d=1,\dots ,6$ を掛けた有限個の候補を調べているので，漏れはない。

よって$$k=4,10,15,16,40,90,120$$である。