一橋大学 2019年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

定数解 $13$ を引いて $b_{n} = a_{n} - 13$ とおくと， $b_{n + 2} = b_{n + 1} - b_{n}$ となり，6周期が現れる。実際に $a_{1}$ から $a_{6}$ までを $p$ で表す。もし全項が平方数なら，特に $p^{2} + 12$ が平方数であることから $p$ を絞り，残りの項で矛盾を出す。

解答

$b_{n} = a_{n} - 13$ とおくと， $b_{n + 2} = b_{n + 1} - b_{n}$ である。よって $b_{n + 3} = - b_{n}$ ，さらに $b_{n + 6} = b_{n}$ となるから， $a_{n}$ も6周期である。初めの6項を計算すると $a_{1} = 1, a_{2} = p^{2}, a_{3} = p^{2} + 12, a_{4} = 25, a_{5} = 26 - p^{2}, a_{6} = 14 - p^{2}$ である。

もし平方数でない項が存在しないと仮定すると，特に $a_{3} = p^{2} + 12$ は平方数である。そこで $p^{2} + 12 = q^{2}$ となる自然数 $q$ がある。 $q > p$ であり， $(q - p) (q + p) = 12$ である。二つの因数は同じ偶奇であるから，可能なのは $(q - p, q + p) = (2, 6)$ だけである。したがって $p = 2$ である。

しかし $p = 2$ のとき $a_{5} = 26 - 4 = 22$ であり，これは平方数ではない。これは仮定に反する。よって数列 ${a_{n}}$ には平方数でない項が存在する。

別解

解法2（連続する平方数ではさむ）

方針

第3項 $a_{3} = p^{2} + 12$ だけに注目する。 $p ≧ 6$ なら $p^{2}$ と $(p + 1)^{2}$ の間に挟まるので平方数ではない。残る $p = 1, \dots, 5$ は表で確認し， $p = 2$ の場合だけ第5項を用いる。

解答

漸化式から $a_{3} = a_{2} - a_{1} + 13 = p^{2} + 12$ である。

まず $p ≧ 6$ とする。このとき $(p + 1)^{2} - (p^{2} + 12) = 2 p - 11 ≧ 1$ だから $p^{2} < p^{2} + 12 < (p + 1)^{2} .$ $p^{2}$ と $(p + 1)^{2}$ は連続する平方数なので，その間にある $a_{3}$ は平方数ではない。

残る $1 ≦ p ≦ 5$ については $\begin{array}{cccccc} p & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ a_{3} = p^{2} + 12 & 13 & 16 & 21 & 28 & 37 \end{array}$ となる。 $p = 1, 3, 4, 5$ では $a_{3}$ が平方数ではない。

$p = 2$ の場合だけ $a_{3} = 16$ は平方数であるが， $a_{4} = a_{3} - a_{2} + 13 = 25, a_{5} = a_{4} - a_{3} + 13 = 22$ なので $a_{5}$ は平方数ではない。

以上より，どの自然数 $p$ に対しても数列 ${a_{n}}$ には平方数でない項が存在する。

総評

難度5，計算量3。想定時間は12分程度。非同次漸化式から定数解を引いて周期を見つけるのが中心で，計算は短い。全項が平方数であると仮定し， $p^{2} + 12$ の差平方から $p = 2$ まで絞る流れが明快である。周期を示さず初項だけを眺めると証明として不足するので，6項で全体を代表できることを必ず書く。

出典: 一橋大学 2019年度前期数学第1問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

一橋大学 2019年度 前期文系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

一橋大学 2019年度前期文系数学第1問