一橋大学 2019年度文系数学第1問解答・解説

問題

$p$ を自然数とする．数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1 ， a_{2} = p^{2} ， a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n} + 13 (n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots)

により定める．数列 ${a_{n}}$ に平方数でない項が存在することを示せ．

出典：一橋大学 2019年度前期文系第1問

方針

解法1

定数解 $13$ を引いて $b_{n} = a_{n} - 13$ とおくと， $b_{n + 2} = b_{n + 1} - b_{n}$ となり，6周期が現れる。実際に $a_{1}$ から $a_{6}$ までを $p$ で表す。もし全項が平方数なら，特に $p^{2} + 12$ が平方数であることから $p$ を絞り，残りの項で矛盾を出す。

解法2（連続する平方数ではさむ）

第3項 $a_{3} = p^{2} + 12$ だけに注目する。 $p ≧ 6$ なら $p^{2}$ と $(p + 1)^{2}$ の間に挟まるので平方数ではない。残る $p = 1, \dots, 5$ は表で確認し， $p = 2$ の場合だけ第5項を用いる。

解答

解法1

$b_{n} = a_{n} - 13$ とおくと，

b_{n + 2} = b_{n + 1} - b_{n}

である。よって $b_{n + 3} = - b_{n}$ ，さらに $b_{n + 6} = b_{n}$ となるから， $a_{n}$ も6周期である。初めの6項を計算すると

a_{1} = 1, a_{2} = p^{2}, a_{3} = p^{2} + 12, a_{4} = 25, a_{5} = 26 - p^{2}, a_{6} = 14 - p^{2}

である。

もし平方数でない項が存在しないと仮定すると，特に $a_{3} = p^{2} + 12$ は平方数である。そこで $p^{2} + 12 = q^{2}$ となる自然数 $q$ がある。 $q > p$ であり，

(q - p) (q + p) = 12

である。二つの因数は同じ偶奇であるから，可能なのは $(q - p, q + p) = (2, 6)$ だけである。したがって $p = 2$ である。

しかし $p = 2$ のとき $a_{5} = 26 - 4 = 22$ であり，これは平方数ではない。これは仮定に反する。よって数列 ${a_{n}}$ には平方数でない項が存在する。

解法2（連続する平方数ではさむ）

漸化式から

a_{3} = a_{2} - a_{1} + 13 = p^{2} + 12

である。

まず $p ≧ 6$ とする。このとき

(p + 1)^{2} - (p^{2} + 12) = 2 p - 11 ≧ 1

だから

p^{2} < p^{2} + 12 < (p + 1)^{2} .

$p^{2}$ と $(p + 1)^{2}$ は連続する平方数なので，その間にある $a_{3}$ は平方数ではない。

残る $1 ≦ p ≦ 5$ については

p a_{3} = p^{2} + 12 113216321428537

となる。 $p = 1, 3, 4, 5$ では $a_{3}$ が平方数ではない。

$p = 2$ の場合だけ $a_{3} = 16$ は平方数であるが，

a_{4} = a_{3} - a_{2} + 13 = 25, a_{5} = a_{4} - a_{3} + 13 = 22

なので $a_{5}$ は平方数ではない。

以上より，どの自然数 $p$ に対しても数列 ${a_{n}}$ には平方数でない項が存在する。

一橋大学 2019年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2（連続する平方数ではさむ）

解答

解法1

解法2（連続する平方数ではさむ）

一橋大学 2019年度
文系数学第1問