一橋大学 2019年度 前期文系数学 第3問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3$ である。$x=t$ における接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $g(t)$ とすると，$t\mathrm{\ne }\pm 1$ では$$g(t)=t-\frac{f(t)}{f^{\mathrm{\prime }}(t)}=t-\frac{(t-1{)}^2(t+2)}{3(t-1)(t+1)}=\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}$$である。したがって $Q$ の $x$ 座標は $g(\alpha )$ である。

$Q$ を通る接線の接点を $x=t$ とすると，$g(t)=g(\alpha )$ を満たす。これは$$\frac{t^2+t+1}{t+1}=\frac{{\alpha }^2+\alpha +1}{\alpha +1}$$であり，整理すると $t=\alpha$ または $(t+1)(\alpha +1)=1$ である。よってもう一つの接点は$$t=-\frac{\alpha }{\alpha +1}$$である。また $x=1$ における接線は $y=0$ であり，これも $Q$ を通る。

各接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-3$ である。$\alpha >1$ だから $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )>0$，$x=1$ の接線の傾きは $0$ である。一方，$-1<-\alpha \mathrm{/}(\alpha +1)<0$ より，この接点での傾きは負である。したがって傾きが最小の接線 $l$ の接点の $x$ 座標は$$-\frac{\alpha }{\alpha +1}$$である。

(2) $\alpha =2$ のとき，(1)より $l$ の接点は $x=-2\mathrm{/}3$ である。傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(-2\mathrm{/}3)=-5\mathrm{/}3$，また $f(-2\mathrm{/}3)=100\mathrm{/}27$ であるから，$l$ の方程式は$$y-\frac{100}{27}=-\frac{5}{3}(x+\frac{2}{3})$$すなわち $y=(-45x+70)\mathrm{/}27$ である。

曲線と直線の差をとると$$f(x)-\frac{-45x+70}{27}=x^3-\frac{4}{3}x-\frac{16}{27}={(x+\frac{2}{3})}^2(x-\frac{4}{3})$$である。よって囲まれた部分は $-2\mathrm{/}3\leqq x\leqq 4\mathrm{/}3$ にあり，この区間では直線が曲線の上にある。したがって面積は$${\int }_{-2\mathrm{/}3}^{4\mathrm{/}3}{(x+\frac{2}{3})}^2(\frac{4}{3}-x)dx$$である。$u=x+2\mathrm{/}3$ とおくと，これは$${\int }_0^2{u}^2(2-u)du={[\frac{2u^3}{3}-\frac{u^4}{4}]}_0^2=\frac{4}{3}$$である。

接点 $t$ における接線の $x$ 切片を $q(t)$ とし，$q(t)-q(\alpha )$ を積の形にする。面積計算では三次関数と接線の差が $(x-t{)}^2(x+2t)$ と必ず因数分解できることを利用する。

(1)
$x=t$ における接線を ${\mathrm{\ell }}_t$ とする。$t\mathrm{\ne }\pm 1$ のとき，その $x$ 切片は$$q(t)=t-\frac{f(t)}{f^{\mathrm{\prime }}(t)}=\frac{2}{3}(t+\frac{1}{t+1})\mathrm{.}$$点Pにおける接線の $x$ 切片がQなので，Qを通る別の接線の接点 $t$ は$$q(t)=q(\alpha )$$を満たす。差をとると$$q(t)-q(\alpha )=\frac{2(t-\alpha )\{(t+1)(\alpha +1)-1\}}{3(t+1)(\alpha +1)}\mathrm{.}$$したがって$$t=\alpha \text{または}(t+1)(\alpha +1)=1.$$後者から$$t=-\frac{\alpha }{\alpha +1}\mathrm{.}$$なお $x=1$ における接線 $y=0$ もQを通る。

傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-3$ である。$\alpha >1$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(\alpha )>0$，水平接線の傾きは0である。一方，$$-1<-\frac{\alpha }{\alpha +1}<0$$だからこの点での傾きは負である。よって最小傾斜の接線 $l$ の接点は$$-\frac{\alpha }{\alpha +1}$$である。

(2)
一般に $x=t$ における接線を ${\mathrm{\ell }}_t(x)$ と書くと，三次式 $f(x)-{\mathrm{\ell }}_t(x)$ は $x=t$ を重解にもち，$x^2$ の係数が0である。したがって$$f(x)-{\mathrm{\ell }}_t(x)=(x-t{)}^2(x+2t)\mathrm{.}$$$\alpha =2$ のとき $t=-2\mathrm{/}3$ なので$$f(x)-l(x)={(x+\frac{2}{3})}^2(x-\frac{4}{3})\mathrm{.}$$よってもう一つの交点の $x$ 座標は $4\mathrm{/}3$ である。

囲まれた部分では直線が曲線の上にあるから，面積は$${\int }_{-2\mathrm{/}3}^{4\mathrm{/}3}{(x+\frac{2}{3})}^2(\frac{4}{3}-x)dx\mathrm{.}$$$u=x+2\mathrm{/}3$ とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^2{u}^2(2-u)du}& {\displaystyle ={[\frac{2u^3}{3}-\frac{u^4}{4}]}_0^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める面積は $4\mathrm{/}3$ である。