一橋大学 2019年度文系数学第3問解答・解説

問題

$f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ とする．また， $α$ は $1$ より大きい実数とする．曲線 $C ： y = f (x)$ 上の点 $P (α, f (α))$ における接線と $x$ 軸の交点を $Q$ とする．点 $Q$ を通る $C$ の接線の中で傾きが最小のものを $l$ とする．

(1) $l$ と $C$ の接点の $x$ 座標を $α$ の式で表せ．

(2) $α = 2$ とする． $l$ と $C$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：一橋大学 2019年度前期文系第3問

方針

解法1

曲線上の $x = t$ における接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $g (t) = t - f (t) / f^{'} (t)$ として表す。 $Q$ は $g (α)$ にあるので， $g (t) = g (α)$ を解く。接線 $y = 0$ も候補に含め，傾きが最小の接点を選ぶ。第(2)問は $α = 2$ を代入して接線と曲線の差を因数分解し，定積分で面積を求める。

解法2（接線差の因数分解）

接点 $t$ における接線の $x$ 切片を $q (t)$ とし， $q (t) - q (α)$ を積の形にする。面積計算では三次関数と接線の差が $(x - t)^{2} (x + 2 t)$ と必ず因数分解できることを利用する。

解答

解法1

(1)

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ である。 $x = t$ における接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $g (t)$ とすると， $t \neq = \pm 1$ では

g (t) = t - \frac{f ( t )}{f ^{'} ( t )} = t - \frac{( t - 1 ) ^{2} ( t + 2 )}{3 ( t - 1 ) ( t + 1 )} = \frac{2 ( t ^{2} + t + 1 )}{3 ( t + 1 )}

である。したがって $Q$ の $x$ 座標は $g (α)$ である。

$Q$ を通る接線の接点を $x = t$ とすると， $g (t) = g (α)$ を満たす。これは

\frac{t ^{2} + t + 1}{t + 1} = \frac{α ^{2} + α + 1}{α + 1}

であり，整理すると $t = α$ または $(t + 1) (α + 1) = 1$ である。よってもう一つの接点は

t = - \frac{α}{α + 1}

である。また $x = 1$ における接線は $y = 0$ であり，これも $Q$ を通る。

各接線の傾きは $f^{'} (t) = 3 t^{2} - 3$ である。 $α > 1$ だから $f^{'} (α) > 0$ ， $x = 1$ の接線の傾きは $0$ である。一方， $- 1 < - α / (α + 1) < 0$ より，この接点での傾きは負である。したがって傾きが最小の接線 $l$ の接点の $x$ 座標は

- \frac{α}{α + 1}

である。

(2)

$α = 2$ のとき，(1)より $l$ の接点は $x = - 2/3$ である。傾きは $f^{'} (- 2/3) = - 5/3$ ，また $f (- 2/3) = 100/27$ であるから， $l$ の方程式は

y - \frac{100}{27} = - \frac{5}{3} (x + \frac{2}{3})

すなわち $y = (- 45 x + 70) /27$ である。

曲線と直線の差をとると

f (x) - \frac{- 45 x + 70}{27} = x^{3} - \frac{4}{3} x - \frac{16}{27} = (x + \frac{2}{3})^{2} (x - \frac{4}{3})

である。よって囲まれた部分は $- 2/3 ≦ x ≦ 4/3$ にあり，この区間では直線が曲線の上にある。したがって面積は

\int_{- 2/3}^{4/3} (x + \frac{2}{3})^{2} (\frac{4}{3} - x) d x

である。 $u = x + 2/3$ とおくと，これは

\int_{0}^{2} u^{2} (2 - u) d u = [\frac{2 u ^{3}}{3} - \frac{u ^{4}}{4}]_{0}^{2} = \frac{4}{3}

である。

解法2（接線差の因数分解）

(1)

$x = t$ における接線を $ℓ_{t}$ とする。 $t \neq = \pm 1$ のとき，その $x$ 切片は

q (t) = t - \frac{f ( t )}{f ^{'} ( t )} = \frac{2}{3} (t + \frac{1}{t + 1}) .

点Pにおける接線の $x$ 切片がQなので，Qを通る別の接線の接点 $t$ は

q (t) = q (α)

を満たす。差をとると

q (t) - q (α) = \frac{2 ( t - α ) {( t + 1 ) ( α + 1 ) - 1 }}{3 ( t + 1 ) ( α + 1 )} .

したがって

t = α または (t + 1) (α + 1) = 1.

後者から

t = - \frac{α}{α + 1} .

なお $x = 1$ における接線 $y = 0$ もQを通る。

傾きは $f^{'} (t) = 3 t^{2} - 3$ である。 $α > 1$ なので $f^{'} (α) > 0$ ，水平接線の傾きは0である。一方，

- 1 < - \frac{α}{α + 1} < 0

だからこの点での傾きは負である。よって最小傾斜の接線 $l$ の接点は

- \frac{α}{α + 1}

である。

(2)

一般に $x = t$ における接線を $ℓ_{t} (x)$ と書くと，三次式 $f (x) - ℓ_{t} (x)$ は $x = t$ を重解にもち， $x^{2}$ の係数が0である。したがって

f (x) - ℓ_{t} (x) = (x - t)^{2} (x + 2 t) .

$α = 2$ のとき $t = - 2/3$ なので

f (x) - l (x) = (x + \frac{2}{3})^{2} (x - \frac{4}{3}) .

よってもう一つの交点の $x$ 座標は $4/3$ である。

囲まれた部分では直線が曲線の上にあるから，面積は

\int_{- 2/3}^{4/3} (x + \frac{2}{3})^{2} (\frac{4}{3} - x) d x .

$u = x + 2/3$ とおけば

\int_{0}^{2} u^{2} (2 - u) d u = [\frac{2 u ^{3}}{3} - \frac{u ^{4}}{4}]_{0}^{2} = \frac{4}{3} .

したがって求める面積は $4/3$ である。

一橋大学 2019年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2（接線差の因数分解）

解答

解法1

(1)

(2)

解法2（接線差の因数分解）

(1)

(2)

一橋大学 2019年度
文系数学第3問