一橋大学 2019年度文系数学第4問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標平面上に，点 $(2, 0)$ を中心とする半径 $2$ の円 $C_{1}$ と，点 $(1, 0)$ を中心とする半径 $1$ の円 $C_{2}$ がある．点 $P$ を中心とする円 $C_{3}$ は $C_{1}$ に内接し，かつ $C_{2}$ に外接する．ただし， $P$ は $x$ 軸上にないものとする． $P$ を通り $x$ 軸に垂直な直線と $x$ 軸の交点を $Q$ とするとき，三角形 $O P Q$ の面積の最大値を求めよ．

出典：一橋大学 2019年度前期文系第4問

方針

解法1

$P = (x, y)$ ，円 $C_{3}$ の半径を $r$ とおく。内接・外接条件から， $P$ から $(2, 0)$ ， $(1, 0)$ までの距離の和が $3$ になることを導く。これにより $P$ は楕円上を動く。楕円の方程式から $y^{2}$ を $x$ で表し，三角形 $O P Q$ の面積 $∣ x y ∣/2$ を最大化する。

解法2（相加相乗平均）

接触条件からPの軌跡が楕円になるところまでは同じである。面積の2乗を $S^{2} = (2/9) x^{3} (3 - x)$ とした後，微分せずに4数 $x /3, x /3, x /3, 3 - x$ へ相加相乗平均を用いる。

解答

解法1

$P = (x, y)$ とし，円 $C_{3}$ の半径を $r$ とする。 $C_{3}$ が $C_{1}$ に内接するから

(x - 2)^{2} + y^{2} + r = 2

である。また $C_{3}$ が $C_{2}$ に外接するから

(x - 1)^{2} + y^{2} = r + 1

である。これらを加えると

(x - 2)^{2} + y^{2} + (x - 1)^{2} + y^{2} = 3

となる。したがって $P$ は焦点 $(1, 0), (2, 0)$ ，長軸の長さ $3$ の楕円上にある。

この楕円の中心は $(3/2, 0)$ ，長半径は $3/2$ ，焦点距離は $1/2$ であるから，短半径の2乗は $(3/2)^{2} - (1/2)^{2} = 2$ である。よって楕円の方程式は

\frac{( x - 3/2 ) ^{2}}{9/4} + \frac{y ^{2}}{2} = 1

である。これを整理すると

y^{2} = \frac{8}{9} x (3 - x)

であり， $0 < x < 3$ である。

三角形 $O P Q$ の面積を $S$ とすると， $Q = (x, 0)$ だから $S = ∣ x y ∣/2$ である。よって

S^{2} = \frac{x ^{2} y ^{2}}{4} = \frac{2}{9} x^{3} (3 - x)

を最大にすればよい。 $h (x) = x^{3} (3 - x)$ とおくと

h^{'} (x) = 3 x^{2} (3 - x) - x^{3} = x^{2} (9 - 4 x)

であるから， $0 < x < 3$ で最大となるのは $x = 9/4$ のときである。

このとき $y^{2} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ である。したがって最大面積は

\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 6}{16}

である。

解法2（相加相乗平均）

円 $C_{3}$ の半径を $r$ ，中心を $P = (x, y)$ とする。 $C_{1}$ への内接と $C_{2}$ への外接から

(x - 2)^{2} + y^{2} = 2 - r, (x - 1)^{2} + y^{2} = 1 + r .

したがって

(x - 2)^{2} + y^{2} + (x - 1)^{2} + y^{2} = 3.

よってPは焦点 $(1, 0), (2, 0)$ ，長半径 $3/2$ ，短半径 $2$ の楕円上にあり，

\frac{( x - 3/2 ) ^{2}}{9/4} + \frac{y ^{2}}{2} = 1.

整理すると

y^{2} = \frac{8}{9} x (3 - x), 0 < x < 3.

三角形OPQの面積を $S$ とすると

S^{2} = \frac{x ^{2} y ^{2}}{4} = \frac{2}{9} x^{3} (3 - x) .

ここで正の4数

\frac{x}{3}, \frac{x}{3}, \frac{x}{3}, 3 - x

の和は3である。相加相乗平均の関係から

4 \frac{x ^{3} ( 3 - x )}{27} ≦ \frac{3}{4} .

したがって

x^{3} (3 - x) ≦ 27 (\frac{3}{4})^{4} = \frac{2187}{256} .

等号成立は

\frac{x}{3} = 3 - x

すなわち $x = 9/4$ のときであり，これは $0 < x < 3$ を満たす。ゆえに

S^{2} ≦ \frac{2}{9} \cdot \frac{2187}{256} = \frac{243}{128} .

$S > 0$ なので

S ≦ \frac{243}{128} = \frac{9 6}{16} .

等号を実現するPが楕円上に存在するため，最大値は $96 /16$ である。

一橋大学 2019年度文系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2（相加相乗平均）

解答

解法1

解法2（相加相乗平均）

一橋大学 2019年度
文系数学第4問