一橋大学 2019年度 前期文系数学 第2問

$$Q=(\cos \theta ,\sin \theta )$$，$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ とおく。$A=(2,2)$ であるから$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}=2\cos \theta +2\sin \theta$$である。したがって $P=(X,Y)$ とすると$$X=2(\cos \theta +\sin \theta )\cos \theta ,Y=2(\cos \theta +\sin \theta )\sin \theta$$である。

このとき $P$ の偏角は $\theta$ であり，$$OP=2(\cos \theta +\sin \theta )$$ である。よって $X=OP\cos \theta$，$Y=OP\sin \theta$ を用いると$$X^2+Y^2=O{P}^2=2X+2Y$$となる。すなわち$$(X-1{)}^2+(Y-1{)}^2=2$$である。

また $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ より $X\geqq 0$，$Y\geqq 0$ であり，$$OP=2(\cos \theta +\sin \theta )$$ だから原点側の弧ではなく，点 $(2,0)$，$(2,2)$，$(0,2)$ を通る弧である。したがって軌跡は，円$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2$$のうち，第一象限にあり $x+y\geqq 2$ を満たす弧である。図示すると，中心 $(1,1)$，半径 $\sqrt{2}$ の円の，$(2,0)$ から $(0,2)$ までを $(2,2)$ 側に通る弧である。

与式を「$\overrightarrow{OA}$ の $\overrightarrow{OQ}$ 方向への正射影が $\overrightarrow{OP}$」と読む。したがって $AP\perp OP$ で，Pは直径OAの円上にある。Qの動く向きから円周上のどの弧かを決める。

点 $Q$ は単位円上にあるから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }=1.$$したがって$$(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ})\overrightarrow{OQ}$$は，$\overrightarrow{OA}$ を $\overrightarrow{OQ}$ の方向へ正射影したベクトルである。与式より，その射影の終点が $P$ なので$$AP\perp OP\mathrm{.}$$ゆえに $\mathrm{\angle }OPA={90}^{\circ }$ であり，Pは線分OAを直径とする円上にある。

$O=(0,0)$，$A=(2,2)$ だから，この円の中心は $(1,1)$，半径は $\sqrt{2}$ である。したがって円の方程式は$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2.$$さらにQは単位円の第1象限部分を動くので，半直線OQの偏角は$$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$また$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}=2(\cos \theta +\sin \theta )>0$$だから，Pも同じ向きの半直線上にある。したがってPは第1象限側の円弧を動く。

この弧の端点は $(2,0)$，$(0,2)$ で，中間で $A=(2,2)$ を通る。円の反対側の弧との区別を不等式で書けば $x+y\geqq 2$ である。よって軌跡は$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=2,x\geqq 0,y\geqq 0,x+y\geqq 2$$を満たす円弧であり，両端を含む。