一橋大学 2019年度文系数学第2問解答・解説

問題

原点を $O$ とする座標平面上の点 $Q$ は円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上の $x ≧ 0$ かつ $y ≧ 0$ の部分を動く．点 $Q$ と点 $A (2, 2)$ に対して

O P = (O A \cdot O Q) O Q

を満たす点 $P$ の軌跡を求め，図示せよ．

出典：一橋大学 2019年度前期文系第2問

方針

解法1

$Q = (cos θ, sin θ)$ ， $0 ≦ θ ≦ π /2$ とおく。与式から $P$ の座標を求め，極座標で $O P = 2 (cos θ + sin θ)$ と見る。 $P = (X, Y)$ として $X^{2} + Y^{2} = 2 X + 2 Y$ を導き，動く弧の範囲を端点と通過点で指定する。

解法2（正射影の幾何）

与式を「 $O A$ の $O Q$ 方向への正射影が $O P$ 」と読む。したがって $A P ⊥ O P$ で，Pは直径OAの円上にある。Qの動く向きから円周上のどの弧かを決める。

解答

解法1

$Q = (cos θ, sin θ)$ ， $0 ≦ θ ≦ π /2$ とおく。 $A = (2, 2)$ であるから

O A \cdot O Q = 2 cos θ + 2 sin θ

である。したがって $P = (X, Y)$ とすると

X = 2 (cos θ + sin θ) cos θ, Y = 2 (cos θ + sin θ) sin θ

である。

このとき $P$ の偏角は $θ$ であり， $O P = 2 (cos θ + sin θ)$ である。よって $X = O P cos θ$ ， $Y = O P sin θ$ を用いると

X^{2} + Y^{2} = O P^{2} = 2 X + 2 Y

となる。すなわち

(X - 1)^{2} + (Y - 1)^{2} = 2

である。

また $0 ≦ θ ≦ π /2$ より $X ≧ 0$ ， $Y ≧ 0$ であり， $O P = 2 (cos θ + sin θ)$ だから原点側の弧ではなく，点 $(2, 0)$ ， $(2, 2)$ ， $(0, 2)$ を通る弧である。したがって軌跡は，円

(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2

のうち，第一象限にあり $x + y ≧ 2$ を満たす弧である。図示すると，中心 $(1, 1)$ ，半径 $2$ の円の， $(2, 0)$ から $(0, 2)$ までを $(2, 2)$ 側に通る弧である。

解法2（正射影の幾何）

点 $Q$ は単位円上にあるから

∣ O Q ∣ = 1.

したがって

(O A \cdot O Q) O Q

は， $O A$ を $O Q$ の方向へ正射影したベクトルである。与式より，その射影の終点が $P$ なので

A P ⊥ O P .

ゆえに $∠ O P A = 9 0^{\circ}$ であり，Pは線分OAを直径とする円上にある。

$O = (0, 0)$ ， $A = (2, 2)$ だから，この円の中心は $(1, 1)$ ，半径は $2$ である。したがって円の方程式は

(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2.

さらにQは単位円の第1象限部分を動くので，半直線OQの偏角は

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2} .

また

O A \cdot O Q = 2 (cos θ + sin θ) > 0

だから，Pも同じ向きの半直線上にある。したがってPは第1象限側の円弧を動く。

この弧の端点は $(2, 0)$ ， $(0, 2)$ で，中間で $A = (2, 2)$ を通る。円の反対側の弧との区別を不等式で書けば $x + y ≧ 2$ である。よって軌跡は

(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2, x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≧ 2

を満たす円弧であり，両端を含む。

一橋大学 2019年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2（正射影の幾何）

解答

解法1

解法2（正射影の幾何）

一橋大学 2019年度
文系数学第2問