問題
下図のような縦列横列の個のマスがある．異なる個のマスを選び，それぞれに枚ずつコインを置く．マスの選び方は，どれも同様に確からしいものとする．縦と横の各列について，点数を次のように定める．
その列に置かれているコインが枚以下のとき，点
その列に置かれているコインがちょうど枚のとき，点
その列に置かれているコインが枚のとき，点
縦と横のすべての列の点数の合計をとする．たとえば，下図の配置例のようにコインが置かれている場合，縦の列目と横の列目の点数が点，他の列の点数が点であるから，となる．
(1) となる確率を求めよ．
(2) となる確率を求めよ．
(3) となる確率を求めよ．
方針
解法1
個から 個のマスを選ぶ総数は である。行方向の3列と列方向の3列について，コイン数の分布を ，， に分類し，それぞれの点数が であることを使う。行の型と列の型の組を数え， に対応させる。
解法2（縦型・横型のクロス集計）
3枚の入り方を，点数3のA型 ，点数1のB型 ，点数0のC型 に分ける。縦型と横型の組ごとの配置数を1枚の表にまとめ，必要な得点のセルを読む。
解答
解法1
全事象の数は， 個のマスから 個を選ぶので
である。
3枚のコインについて，縦方向の3列に入る枚数の型は，，， のいずれかである。それぞれ縦方向の点数は である。横方向についても同様である。
(1)
となるのは，ある縦列に3枚すべてが入る場合，またはある横列に3枚すべてが入る場合である。前者は3通り，後者も3通りで，重複はない。したがって確率は
である。
(2)
となるのは，一方の方向の型が ，他方の方向の型が の場合である。
縦方向が ，横方向が となる配置を数える。2枚入る縦列の選び方が3通り，1枚入る縦列の選び方が2通り，2枚入る縦列で使う横列の選び方が 通りである。残りの1枚は残った横列に置くしかないので，合計 通りである。縦横を入れ替えた場合も同じく18通りである。よって確率は
である。
(3)
となるのは，縦方向も横方向も型が の場合である。縦方向が となる配置は，2枚入る縦列を3通り，1枚入る縦列を2通り，2枚入る縦列の中のマスを 通り，1枚入る縦列の中のマスを3通りで選ぶので 通りである。
このうち横方向が となるものは第(2)問で数えた18通りである。横方向が となることは，縦方向が である場合には起こらない。したがって縦横ともに となる配置は 通りである。よって確率は
である。
解法2（縦型・横型のクロス集計）
縦3列へのコイン数の型を
とする。それぞれの縦方向の点数は である。横方向についても同じ記号を使う。
縦型と横型の組ごとの配置数は次の表になる。
各数を確認する。縦A・横Cは，3枚を置く縦列の選び方だけなので3通りである。縦B・横Cは，2枚の縦列が3通り，1枚の縦列が2通り，2枚が使う横列の選び方が
通りだから
通りである。対称性から縦C・横Aは3通り，縦C・横Bは18通りである。
縦Bとなる配置全体は
通りである。このうち横Cが18通りで，横Aは不可能だから，縦B・横Bは
通りである。最後に縦C・横Cは各縦列・各横列に1枚ずつ置く配置，すなわち3列の置換なので
通りである。表の総和も と一致する。
(1)
はA・CまたはC・Aなので
(2)
はB・CまたはC・Bなので
(3)
はB・Bなので