一橋大学 2020年度文系数学第1問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $1 0^{10}$ を $2020$ で割った余りを求めよ。

(2) 100桁の正の整数で各位の数の和が $2$ となるもののうち、 $2020$ で割り切れるものの個数を求めよ。

出典：一橋大学 2020年度前期文系第1問

方針

解法1（20と101に分けて合同条件を合わせる）

$2020 = 20 \cdot 101$ と分解する。(1)は $20$ と $101$ での余りを合わせる。(2)は各位の和が2となる桁配置を2種類に絞り、末尾2桁の条件と $1 0^{4} \equiv 1 (mod 101)$ を使って数える。

解法2（2020を法とする10の累乗周期を直接使う）

$1 0^{4} \equiv - 100 (mod 2020)$ から、指数4ごとの余りが固定されることを示す。(2)では100桁の候補を $2 \cdot 1 0^{99}$ と $1 0^{99} + 1 0^{r}$ に分け、周期表だけで0になる位置を数える。

解答

解法1（20と101に分けて合同条件を合わせる）

(1)

2020 = 20 \cdot 101, g cd (20, 101) = 1

である。 $1 0^{10}$ は20で割り切れる。一方、

1 0^{2} = 100 \equiv - 1 (mod 101)

より

1 0^{10} = (1 0^{2})^{5} \equiv - 1 \equiv 100 (mod 101) .

求める余りを $r$ とすると

0 ≦ r < 2020, r \equiv 0 (mod 20), r \equiv 100 (mod 101) .

$r = 20 k$ とおけば

20 k \equiv 100 (mod 101) .

$20 \cdot 5 \equiv - 1 (mod 101)$ なので $k \equiv 5 (mod 101)$ であり、

r = 100

を得る。

(2)

右から $0, 1, \dots, 99$ 桁目と番号を付ける。各位の和が2である100桁の正の整数は、次のどちらかである。

I : II : 99 桁目だけが 2, 99 桁目と別の 1 桁が 1.

Iの場合の数は

2 \cdot 1 0^{99} .

$1 0^{99} \equiv - 10 (mod 101)$ だから101で割り切れず、不適である。

IIの場合、もう一つの $1$ を右から $r$ 桁目に置く。20で割り切れるには一の位が0、十の位が偶数でなければならないから

2 ≦ r ≦ 98.

また

1 0^{4} \equiv 1 (mod 101), 1 0^{99} \equiv - 10 (mod 101) .

したがって101で割り切れる条件は

1 0^{99} + 1 0^{r} \equiv 0 (mod 101) ⟺ 1 0^{r} \equiv 10 (mod 101) ⟺ r \equiv 1 (mod 4) .

範囲内の候補は

r = 5, 9, 13, \dots, 97

で、その個数は

\frac{97 - 5}{4} + 1 = 24.

よって求める個数は $24$ 個である。

解法2（2020を法とする10の累乗周期を直接使う）

(1)

2020を法として

1 0^{4} = 10000 \equiv - 100

である。さらに

(- 100) \cdot 1 0^{4} \equiv (- 100)^{2} = 10000 \equiv - 100 (mod 2020)

だから、 $m ≧ 1$ に対して

1 0^{4 m} \equiv - 100 (mod 2020) .

これに $10, 1 0^{2}, 1 0^{3}$ を掛けると

j 1 0^{4 m + j} (mod 2020) 0192011020210031000 (m ≧ 1)

となる。 $1 0^{10}$ は指数が $4 \cdot 2 + 2$ なので、余りは

100

である。

(2)

各位の和が2である100桁の正の整数は

2 \cdot 1 0^{99}

または

1 0^{99} + 1 0^{r} (0 ≦ r ≦ 98)

の形である。

周期表より

1 0^{99} \equiv 1000 (mod 2020) .

したがって前者は

2 \cdot 1 0^{99} \equiv 2000 \neq \equiv 0 (mod 2020)

で不適である。後者が2020で割り切れる条件は

1 0^{r} \equiv - 1000 \equiv 1020 (mod 2020) .

小さい指数 $r = 0, 1, 2, 3$ を直接確認し、以後は周期表を使うと

r \equiv 1 (mod 4), r ≧ 5

である。よって

r = 5, 9, \dots, 97

の24通りとなる。

一橋大学 2020年度文系数学 第1問

問題

方針

解法1（20と101に分けて合同条件を合わせる）

解法2（2020を法とする10の累乗周期を直接使う）

解答

解法1（20と101に分けて合同条件を合わせる）

(1)

(2)

解法2（2020を法とする10の累乗周期を直接使う）

(1)

(2)

一橋大学 2020年度
文系数学第1問