一橋大学 2020年度 前期文系数学 第1問

(1) $$2020=20\cdot 101,\gcd (20,101)=1$$である。${10}^{10}$ は20で割り切れる。一方、$${10}^2=100\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)$$より$${10}^{10}=({10}^2{)}^5\equiv -1\equiv 100(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)\mathrm{.}$$求める余りを $r$ とすると$$0\leqq r<2020,r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}20),r\equiv 100(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)\mathrm{.}$$$r=20k$ とおけば$$20k\equiv 100(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)\mathrm{.}$$$$20\cdot 5\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)$$ なので $k\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)$ であり、$$r=100$$を得る。

(2)
右から $0,1,\dots ,99$ 桁目と番号を付ける。各位の和が2である100桁の正の整数は、次のどちらかである。$$\begin{array}{ll}\mathrm{I}:& 99\text{桁目だけが }2,\\ \mathrm{I}\mathrm{I}:& 99\text{桁目と別の1桁が }1.\end{array}$$Iの場合の数は$$2\cdot {10}^{99}\mathrm{.}$$$${10}^{99}\equiv -10(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)$$ だから101で割り切れず、不適である。

IIの場合、もう一つの $1$ を右から $r$ 桁目に置く。20で割り切れるには一の位が0、十の位が偶数でなければならないから$$2\leqq r\leqq 98.$$また$${10}^4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101),{10}^{99}\equiv -10(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)\mathrm{.}$$したがって101で割り切れる条件は$${10}^{99}+{10}^r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)⟺{10}^r\equiv 10(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}101)⟺r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\mathrm{.}$$範囲内の候補は$$r=5,9,13,\dots ,97$$で、その個数は$$\frac{97-5}{4}+1=24.$$よって求める個数は $24$ 個である。

${10}^4\equiv -100(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2020)$ から、指数4ごとの余りが固定されることを示す。(2)では100桁の候補を $2\cdot {10}^{99}$ と ${10}^{99}+{10}^r$ に分け、周期表だけで0になる位置を数える。

(1)
2020を法として$${10}^4=10000\equiv -100$$である。さらに$$(-100)\cdot {10}^4\equiv (-100{)}^2=10000\equiv -100(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2020)$$だから、$m\geqq 1$ に対して$${10}^{4m}\equiv -100(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2020)\mathrm{.}$$これに $10,{10}^2,{10}^3$ を掛けると$$\begin{array}{ccccc}j& 0& 1& 2& 3\\ {10}^{4m+j}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2020)& 1920& 1020& 100& 1000\end{array}(m\geqq 1)$$となる。${10}^{10}$ は指数が $4\cdot 2+2$ なので、余りは$$100$$である。

(2)
各位の和が2である100桁の正の整数は$$2\cdot {10}^{99}$$または$${10}^{99}+{10}^r(0\leqq r\leqq 98)$$の形である。

周期表より$${10}^{99}\equiv 1000(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2020)\mathrm{.}$$したがって前者は$$2\cdot {10}^{99}\equiv 2000\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2020)$$で不適である。後者が2020で割り切れる条件は$${10}^r\equiv -1000\equiv 1020(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2020)\mathrm{.}$$小さい指数 $r=0,1,2,3$ を直接確認し、以後は周期表を使うと$$r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),r\geqq 5$$である。よって$$r=5,9,\dots ,97$$の24通りとなる。