一橋大学 2020年度 前期文系数学 第2問

もとの方程式が定義されるためには$$\theta \mathrm{\ne }\frac{\pi }{2},\theta \mathrm{\ne }\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$$が必要である。

ここで$$t=\tan \theta$$とおく。$0\leqq \theta <\pi$、$\theta \mathrm{\ne }\pi \mathrm{/}2$ において、$t$ は実数全体を一度ずつ動く。また、$\tan 2\theta$ の定義域から$$t\mathrm{\ne }\pm 1$$である。二倍角公式を使うと$$\frac{2t}{1-t^2}+at=0,$$すなわち$$t\{\frac{2}{1-t^2}+a\}=0$$となる。

まず$$t=0$$から $\theta =0$ が常に1個得られる。

$a=0$ のとき、ほかの解はない。$a\mathrm{\ne }0$ のとき、残りの条件は$$\frac{2}{1-t^2}+a=0⟺t^2=\frac{a+2}{a}\mathrm{.}$$右辺が正なら、$t$ は正負2個の値をとる。この条件は$$\frac{a+2}{a}>0⟺a<-2\text{ または }a>0$$である。これらの範囲では右辺は $1$ にならないので、除外値 $t=\pm 1$ も生じない。

一方、$a=-2$ では右辺が0となり、すでに数えた $t=0$ と重なる。したがって、解の個数は$$\{\begin{array}{ll}3& (a<-2\text{ または }a>0),\\ 1& (-2\leqq a\leqq 0)\end{array}$$である。

定義域を保ったまま分母を払うと、$\sin \theta$ と $\cos 2\theta$ の積の形になる。常に存在する $\theta =0$ と、$\cos 2\theta$ の値域から生じる追加解を数える。

定義域は$$\cos \theta \mathrm{\ne }0,\cos 2\theta \mathrm{\ne }0$$である。この範囲では分母を払ってよいから$$\sin 2\theta \cos \theta +a\sin \theta \cos 2\theta =0.$$$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$ と$$2{\cos }^2\theta =1+\cos 2\theta$$を用いると$$\sin \theta \{1+(a+1)\cos 2\theta \}=0$$を得る。

$0\leqq \theta <\pi$ で $\sin \theta =0$ となるのは$$\theta =0$$だけであり、これは常に解である。

追加の解は$$1+(a+1)\cos 2\theta =0$$から生じる。$a=-1$ ではこの式は成り立たない。$a\mathrm{\ne }-1$ では$$\cos 2\theta =-\frac{1}{a+1}\mathrm{.}$$右辺が $-1$ と $1$ の間にあれば、$0\leqq 2\theta <2\pi$ に2解がある。その条件は$$\mid -\frac{1}{a+1}\mid <1⟺\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }>1⟺a<-2\text{ または }a>0.$$端点も確認する。$a=-2$ では $\cos 2\theta =1$ となり、得られるのは既出の $\theta =0$ だけである。$a=0$ では $\cos 2\theta =-1$ となるが、$\theta =\pi \mathrm{/}2$ はもとの式の定義域外である。

よって$$\{\begin{array}{ll}3& (a<-2\text{ または }a>0),\\ 1& (-2\leqq a\leqq 0)\end{array}$$となる。