一橋大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

$a$ を定数とし、 $0 ≦ θ < π$ とする。方程式

tan 2 θ + a tan θ = 0

を満たす $θ$ の個数を求めよ。

出典：一橋大学 2020年度前期文系第2問

もとの方程式が定義される範囲を確認してから $t = tan θ$ とおく。二倍角公式で $t$ の方程式に直し、常に得られる解と、パラメータ $a$ によって増える2解を分ける。

定義域を保ったまま分母を払うと、 $sin θ$ と $cos 2 θ$ の積の形になる。常に存在する $θ = 0$ と、 $cos 2 θ$ の値域から生じる追加解を数える。

もとの方程式が定義されるためには

θ \neq = \frac{π}{2}, θ \neq = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}

が必要である。

ここで

t = tan θ

とおく。 $0 ≦ θ < π$ 、 $θ \neq = π /2$ において、 $t$ は実数全体を一度ずつ動く。また、 $tan 2 θ$ の定義域から

t \neq = \pm 1

である。二倍角公式を使うと

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} + a t = 0,

すなわち

t {\frac{2}{1 - t ^{2}} + a} = 0

となる。

まず

t = 0

から $θ = 0$ が常に1個得られる。

$a = 0$ のとき、ほかの解はない。 $a \neq = 0$ のとき、残りの条件は

\frac{2}{1 - t ^{2}} + a = 0 ⟺ t^{2} = \frac{a + 2}{a} .

右辺が正なら、 $t$ は正負2個の値をとる。この条件は

\frac{a + 2}{a} > 0 ⟺ a < - 2 または a > 0

である。これらの範囲では右辺は $1$ にならないので、除外値 $t = \pm 1$ も生じない。

一方、 $a = - 2$ では右辺が0となり、すでに数えた $t = 0$ と重なる。したがって、解の個数は

{31 (a < - 2 または a > 0), (- 2 ≦ a ≦ 0)

である。

定義域は

cos θ \neq = 0, cos 2 θ \neq = 0

である。この範囲では分母を払ってよいから

sin 2 θ cos θ + a sin θ cos 2 θ = 0.

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ と

2 cos^{2} θ = 1 + cos 2 θ

を用いると

sin θ {1 + (a + 1) cos 2 θ} = 0

を得る。

$0 ≦ θ < π$ で $sin θ = 0$ となるのは

θ = 0

だけであり、これは常に解である。

追加の解は

1 + (a + 1) cos 2 θ = 0

から生じる。 $a = - 1$ ではこの式は成り立たない。 $a \neq = - 1$ では

cos 2 θ = - \frac{1}{a + 1} .

右辺が $- 1$ と $1$ の間にあれば、 $0 ≦ 2 θ < 2 π$ に2解がある。その条件は

- \frac{1}{a + 1} < 1 ⟺ ∣ a + 1∣ > 1 ⟺ a < - 2 または a > 0.

端点も確認する。 $a = - 2$ では $cos 2 θ = 1$ となり、得られるのは既出の $θ = 0$ だけである。 $a = 0$ では $cos 2 θ = - 1$ となるが、 $θ = π /2$ はもとの式の定義域外である。

よって

{31 (a < - 2 または a > 0), (- 2 ≦ a ≦ 0)

となる。