一橋大学 2020年度 前期文系数学 第4問

折れ曲がり点 $t=x$ が積分区間に入る条件は$$2-x\leqq x\leqq 2+x\mathrm{.}$$右側の不等式は常に成り立つので、条件は $x\geqq 1$ である。

まず $0<x<1$ のとき、区間全体で $t-x>0$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{2-x}^{2+x}\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }dt}& {\displaystyle ={\int }_{2-x}^{2+x}(t-x)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x(2-x)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$F(x)=4-2x(0<x<1)\mathrm{.}$$この範囲では$$F(x)>2.$$次に $x\geqq 1$ のとき、$t=x$ で積分を分けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{2-x}^{2+x}\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }dt}& {\displaystyle ={\int }_{2-x}^x(x-t)dt+{\int }_x^{2+x}(t-x)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(2x-2{)}^2}{2}+\frac{2^2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x^2-4x+4.}\end{array}$$よって$$F(x)=2x-4+\frac{4}{x}(x\geqq 1)\mathrm{.}$$微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=2-\frac{4}{x^2}\mathrm{.}$$したがって $1\leqq x<\sqrt{2}$ で減少し、$x>\sqrt{2}$ で増加するので$$F(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-4+\frac{4}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}-4.$$最後に$$4\sqrt{2}-4<2$$であるから、$0<x<1$ の範囲の値よりも小さい。ゆえに求める最小値は$$4\sqrt{2}-4.$$

絶対値の積分を、グラフ $y=\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }$ と $t$ 軸で囲まれる三角形の面積として求める。$x\geqq 1$ では得られた式に相加相乗平均を適用し、微分せずに最小値を決める。

$0<x<1$ のときは積分区間がすべて $t>x$ 側にあるので$$F(x)=4-2x>2.$$$x\geqq 1$ のとき、グラフ $y=\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }$ は $t=x$ で $t$ 軸と交わる。積分値は、底辺の長さがそれぞれ $2x-2$、$2$ である二つの直角三角形の面積の和だから$${\int }_{2-x}^{2+x}\mathrm{\mid }t-x\mathrm{\mid }dt=\frac{(2x-2{)}^2}{2}+\frac{2^2}{2}\mathrm{.}$$したがって$$F(x)=2x-4+\frac{4}{x}\mathrm{.}$$ここで $x>0$ より、相加相乗平均の関係から$$2x+\frac{4}{x}\geqq 2\sqrt{2x\cdot \frac{4}{x}}=4\sqrt{2}\mathrm{.}$$等号は$$2x=\frac{4}{x}⟺x=\sqrt{2}$$のときに成り立つ。この値は $x\geqq 1$ を満たすので$$F(x)\geqq 4\sqrt{2}-4.$$さらに$$4\sqrt{2}-4<2$$だから、$0<x<1$ の場合も合わせた全体の最小値は$$4\sqrt{2}-4$$である。