一橋大学 2020年度文系数学第4問解答・解説

問題

$x > 0$ に対し

F (x) = \frac{1}{x} \int_{2 - x}^{2 + x} ∣ t - x ∣ d t

と定める。 $F (x)$ の最小値を求めよ。

出典：一橋大学 2020年度前期文系第4問

折れ曲がり点 $t = x$ が積分区間 $[2 - x, 2 + x]$ に含まれるかを調べる。 $0 < x < 1$ と $x ≧ 1$ に分けて積分し、後者は微分によって最小値を求める。

絶対値の積分を、グラフ $y = ∣ t - x ∣$ と $t$ 軸で囲まれる三角形の面積として求める。 $x ≧ 1$ では得られた式に相加相乗平均を適用し、微分せずに最小値を決める。

折れ曲がり点 $t = x$ が積分区間に入る条件は

2 - x ≦ x ≦ 2 + x .

右側の不等式は常に成り立つので、条件は $x ≧ 1$ である。

まず $0 < x < 1$ のとき、区間全体で $t - x > 0$ だから

\int_{2 - x}^{2 + x} ∣ t - x ∣ d t = \int_{2 - x}^{2 + x} (t - x) d t = 2 x (2 - x) .

したがって

F (x) = 4 - 2 x (0 < x < 1) .

この範囲では

F (x) > 2.

次に $x ≧ 1$ のとき、 $t = x$ で積分を分けると

\int_{2 - x}^{2 + x} ∣ t - x ∣ d t = \int_{2 - x}^{x} (x - t) d t + \int_{x}^{2 + x} (t - x) d t = \frac{( 2 x - 2 ) ^{2}}{2} + \frac{2 ^{2}}{2} = 2 x^{2} - 4 x + 4.

よって

F (x) = 2 x - 4 + \frac{4}{x} (x ≧ 1) .

微分すると

F^{'} (x) = 2 - \frac{4}{x ^{2}} .

したがって $1 ≦ x < 2$ で減少し、 $x > 2$ で増加するので

F (2) = 22 - 4 + \frac{4}{2} = 42 - 4.

最後に

42 - 4 < 2

であるから、 $0 < x < 1$ の範囲の値よりも小さい。ゆえに求める最小値は

42 - 4.

$0 < x < 1$ のときは積分区間がすべて $t > x$ 側にあるので

F (x) = 4 - 2 x > 2.

$x ≧ 1$ のとき、グラフ $y = ∣ t - x ∣$ は $t = x$ で $t$ 軸と交わる。積分値は、底辺の長さがそれぞれ $2 x - 2$ 、 $2$ である二つの直角三角形の面積の和だから

\int_{2 - x}^{2 + x} ∣ t - x ∣ d t = \frac{( 2 x - 2 ) ^{2}}{2} + \frac{2 ^{2}}{2} .

したがって

F (x) = 2 x - 4 + \frac{4}{x} .

ここで $x > 0$ より、相加相乗平均の関係から

2 x + \frac{4}{x} ≧ 2 2 x \cdot \frac{4}{x} = 42 .

等号は

2 x = \frac{4}{x} ⟺ x = 2

のときに成り立つ。この値は $x ≧ 1$ を満たすので

F (x) ≧ 42 - 4.

さらに

42 - 4 < 2

だから、 $0 < x < 1$ の場合も合わせた全体の最小値は

42 - 4

である。