一橋大学 2020年度文系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。1枚の硬貨を投げ、表が出れば1点、裏が出れば2点を得る。この試行を繰り返し、点の合計が $n$ 以上になったらやめる。点の合計がちょうど $n$ になる確率を $p_{n}$ で表す。

(1) $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ を求めよ。

(2)

∣ p_{n + 1} - p_{n} ∣ < 0.01

を満たす最小の $n$ を求めよ。

出典：一橋大学 2020年度前期文系第5問

方針

解法1（確率漸化式を一般項まで解く）

最後の1回で1点または2点を加えることに注目して、 $p_{n}$ の2項間漸化式を作る。初期値から(1)を求め、特性方程式で一般項を出して(2)を処理する。

解法2（隣り合う項の差を直接追う）

(1)で得た漸化式を隣接差 $d_{n} = p_{n + 1} - p_{n}$ の漸化式へ変形する。(2)は一般項 $p_{n}$ を求めず、差の絶対値だけを等比数列として扱う。

解答

解法1（確率漸化式を一般項まで解く）

(1)

1点にちょうど到達するには最初に表が出ればよいので

p_{1} = \frac{1}{2} .

2点にちょうど到達するのは、最初に裏が出る場合と、表が2回続く場合である。よって

p_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

$n ≧ 3$ とする。最後の試行が表なら、その直前の合計は $n - 1$ 、最後の試行が裏なら、その直前の合計は $n - 2$ である。したがって

p_{n} = \frac{1}{2} p_{n - 1} + \frac{1}{2} p_{n - 2} .

これより

p_{3} p_{4} = \frac{1}{2} (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{5}{8}, = \frac{1}{2} (\frac{5}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{11}{16} .

ゆえに

p_{1} = \frac{1}{2}, p_{2} = \frac{3}{4}, p_{3} = \frac{5}{8}, p_{4} = \frac{11}{16} .

(2)

漸化式の特性方程式は

2 r^{2} - r - 1 = 0 ⟺ (r - 1) (2 r + 1) = 0.

よって

p_{n} = A + B (- \frac{1}{2})^{n} .

$p_{1} = 1/2$ 、 $p_{2} = 3/4$ を代入すると

A - \frac{1}{2} B = \frac{1}{2}, A + \frac{1}{4} B = \frac{3}{4},

したがって

A = \frac{2}{3}, B = \frac{1}{3} .

ゆえに

p_{n} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n} .

このとき

∣ p_{n + 1} - p_{n} ∣ = \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})^{n + 1} - (- \frac{1}{2})^{n}} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} .

したがって求める条件は

\frac{1}{2 ^{n + 1}} < \frac{1}{100} ⟺ 2^{n + 1} > 100.

ここで

2^{6} = 64 < 100 < 128 = 2^{7}

だから、最小の $n$ は

6

である。

解法2（隣り合う項の差を直接追う）

(1)

最初の数項は直接数えると

p_{1} = \frac{1}{2}, p_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

また

p_{n} = \frac{1}{2} p_{n - 1} + \frac{1}{2} p_{n - 2} (n ≧ 3)

だから

p_{3} = \frac{5}{8}, p_{4} = \frac{11}{16} .

したがって

p_{1} = \frac{1}{2}, p_{2} = \frac{3}{4}, p_{3} = \frac{5}{8}, p_{4} = \frac{11}{16} .

(2)

漸化式の添字を一つ進めると

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{2} p_{n - 1} .

両辺から $p_{n}$ を引けば

p_{n + 1} - p_{n} = - \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{2} p_{n - 1} = - \frac{1}{2} (p_{n} - p_{n - 1}) .

そこで

d_{n} = p_{n + 1} - p_{n}

とおくと

d_{n} = - \frac{1}{2} d_{n - 1} .

初項は

d_{1} = p_{2} - p_{1} = \frac{1}{4}

だから

∣ d_{n} ∣ = \frac{1}{4} (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} .

よって

∣ p_{n + 1} - p_{n} ∣ < 0.01 ⟺ 2^{n + 1} > 100.

$2^{6} < 100 < 2^{7}$ より、最小の $n$ は

6

である。

一橋大学 2020年度文系数学 第5問

問題

方針

解法1（確率漸化式を一般項まで解く）

解法2（隣り合う項の差を直接追う）

解答

解法1（確率漸化式を一般項まで解く）

(1)

(2)

解法2（隣り合う項の差を直接追う）

(1)

(2)

一橋大学 2020年度
文系数学第5問