一橋大学 2020年度 前期文系数学 第5問

(1)

1点にちょうど到達するには最初に表が出ればよいので$$p_1=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$2点にちょうど到達するのは、最初に裏が出る場合と、表が2回続く場合である。よって$$p_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$$n\geqq 3$ とする。最後の試行が表なら、その直前の合計は $n-1$、最後の試行が裏なら、その直前の合計は $n-2$ である。したがって$$p_n=\frac{1}{2}{p}_{n-1}+\frac{1}{2}{p}_{n-2}\mathrm{.}$$これより$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_3}& {\displaystyle =\frac{1}{2}(\frac{3}{4}+\frac{1}{2})=\frac{5}{8},}\\ {\displaystyle p_4}& {\displaystyle =\frac{1}{2}(\frac{5}{8}+\frac{3}{4})=\frac{11}{16}\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$p_1=\frac{1}{2},p_2=\frac{3}{4},p_3=\frac{5}{8},p_4=\frac{11}{16}\mathrm{.}$$(2)

漸化式の特性方程式は$$2r^2-r-1=0⟺(r-1)(2r+1)=0.$$よって$$p_n=A+B{(-\frac{1}{2})}^n\mathrm{.}$$$p_1=1\mathrm{/}2$、$p_2=3\mathrm{/}4$ を代入すると$$A-\frac{1}{2}B=\frac{1}{2},A+\frac{1}{4}B=\frac{3}{4},$$したがって$$A=\frac{2}{3},B=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$ゆえに$$p_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n\mathrm{.}$$このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{p}_{n+1}-p_n\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =\mid \frac{1}{3}\{{(-\frac{1}{2})}^{n+1}-{(-\frac{1}{2})}^n\}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2^{n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める条件は$$\frac{1}{2^{n+1}}<\frac{1}{100}⟺2^{n+1}>100.$$ここで$$2^6=64<100<128=2^7$$だから、最小の $n$ は$$6$$である。

(1) で得た漸化式を隣接差 $d_n=p_{n+1}-p_n$ の漸化式へ変形する。(2)は一般項 $p_n$ を求めず、差の絶対値だけを等比数列として扱う。

(1)

最初の数項は直接数えると$$p_1=\frac{1}{2},p_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$また$$p_n=\frac{1}{2}{p}_{n-1}+\frac{1}{2}{p}_{n-2}(n\geqq 3)$$だから$$p_3=\frac{5}{8},p_4=\frac{11}{16}\mathrm{.}$$したがって$$p_1=\frac{1}{2},p_2=\frac{3}{4},p_3=\frac{5}{8},p_4=\frac{11}{16}\mathrm{.}$$(2)

漸化式の添字を一つ進めると$$p_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{2}{p}_{n-1}\mathrm{.}$$両辺から $p_n$ を引けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}-p_n}& {\displaystyle =-\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{2}{p}_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{2}(p_n-p_{n-1})\mathrm{.}}\end{array}$$そこで$$d_n=p_{n+1}-p_n$$とおくと$$d_n=-\frac{1}{2}{d}_{n-1}\mathrm{.}$$初項は$$d_1=p_2-p_1=\frac{1}{4}$$だから$$\mathrm{\mid }{d}_n\mathrm{\mid }=\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2^{n+1}}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }{p}_{n+1}-p_n\mathrm{\mid }<0.01⟺2^{n+1}>100.$$$2^6<100<2^7$ より、最小の $n$ は$$6$$である。