一橋大学 2020年度文系数学第3問解答・解説

問題

半径 $1$ の円周上に3点 $A, B, C$ がある。内積

A B \cdot A C

の最大値と最小値を求めよ。

出典：一橋大学 2020年度前期文系第3問

円の中心を原点とし、回転して $A = (1, 0)$ とおく。 $B, C$ の偏角の和と差を使って内積を整理し、二つの余弦の値域から最大・最小を求める。

中心を原点とし、位置ベクトルを $a, b, c$ とする。 $b, c$ の平均と半差を導入すると、求める内積は平均ベクトルの長さと $a$ との内積だけで表せる。

円の中心を原点 $O$ とする。図形全体を回転しても内積は変わらないので

A = (1, 0), B = (cos u, sin u), C = (cos v, sin v)

とおいてよい。このとき

A B \cdot A C = (B - A) \cdot (C - A) = cos (u - v) - cos u - cos v + 1.

ここで

X = \frac{u + v}{2}, Y = \frac{u - v}{2}

とおく。和積公式により

cos (u - v) - cos u - cos v + 1 = 1 + cos 2 Y - 2 cos X cos Y = 2 cos^{2} Y - 2 cos X cos Y .

$s = cos Y$ とすると $- 1 ≦ s ≦ 1$ であり、固定した $s$ に対して $cos X$ は $- 1$ から $1$ まで動かせる。したがって、固定した $s$ に対する最大値と最小値は

2 s^{2} + 2∣ s ∣, 2 s^{2} - 2∣ s ∣

である。

$q = ∣ s ∣$ とおけば $0 ≦ q ≦ 1$ だから、最大値は

0 ≦ q ≦ 1 max (2 q^{2} + 2 q) = 4.

また

2 q^{2} - 2 q = 2 (q - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2}

より、最小値は

- \frac{1}{2} .

よって

最大値 4, 最小値 - \frac{1}{2}

である。

中心を原点 $O$ とし、 $A, B, C$ の位置ベクトルをそれぞれ

a, b, c

とする。半径が1なので

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1.

ここで

m = \frac{b + c}{2}, d = \frac{b - c}{2}

とおく。 $b = m + d$ 、 $c = m - d$ だから

m \cdot d = 0, ∣ m ∣^{2} + ∣ d ∣^{2} = 1.

したがって

A B \cdot A C = (b - a) \cdot (c - a) = b \cdot c - a \cdot (b + c) + ∣ a ∣^{2} = 2∣ m ∣^{2} - 2 a \cdot m .

$r = ∣ m ∣$ とおくと

0 ≦ r ≦ 1, - r ≦ a \cdot m ≦ r .

よって、固定した $r$ に対する最大値と最小値は

2 r^{2} + 2 r, 2 r^{2} - 2 r

である。したがって

0 ≦ r ≦ 1 max (2 r^{2} + 2 r) = 4

であり、

2 r^{2} - 2 r = 2 (r - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2}

より最小値は $- 1/2$ である。

最大値4は $r = 1$ かつ $a$ と $m$ が逆向き、すなわち $B = C$ が $A$ の対蹠点にあるときに達する。最小値は $r = 1/2$ かつ $a$ と $m$ が同じ向きのときに達する。

最小値を与える配置の一例

以上より

最大値 4, 最小値 - \frac{1}{2} .