一橋大学 2020年度 前期文系数学 第3問

円の中心を原点 $O$ とする。図形全体を回転しても内積は変わらないので$$A=(1,0),B=(\cos u,\sin u),C=(\cos v,\sin v)$$とおいてよい。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}& {\displaystyle =(B-A)\cdot (C-A)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos (u-v)-\cos u-\cos v+1.}\end{array}$$ここで$$X=\frac{u+v}{2},Y=\frac{u-v}{2}$$とおく。和積公式により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos (u-v)-\cos u-\cos v+1}& {\displaystyle =1+\cos 2Y-2\cos X\cos Y}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\cos }^{2}Y-2\cos X\cos Y\mathrm{.}}\end{array}$$$s=\cos Y$ とすると $-1\leqq s\leqq 1$ であり、固定した $s$ に対して $\cos X$ は $-1$ から $1$ まで動かせる。したがって、固定した $s$ に対する最大値と最小値は$$2s^2+2\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid },2s^2-2\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$$である。

$q=\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$ とおけば $0\leqq q\leqq 1$ だから、最大値は$$\underset{0\leqq q\leqq 1}{\max }(2q^2+2q)=4.$$また$$2q^2-2q=2{(q-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{2}$$より、最小値は$$-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$よって$$\text{最大値 }4,\text{最小値 }-\frac{1}{2}$$である。

中心を原点とし、位置ベクトルを $\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$ とする。$\mathit{b},\mathit{c}$ の平均と半差を導入すると、求める内積は平均ベクトルの長さと $\mathit{a}$ との内積だけで表せる。

中心を原点 $O$ とし、$A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ$$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$$とする。半径が1なので$$\mathrm{\mid }\mathit{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathit{c}\mathrm{\mid }=1.$$ここで$$\mathit{m}=\frac{\mathit{b}+\mathit{c}}{2},\mathit{d}=\frac{\mathit{b}-\mathit{c}}{2}$$とおく。$$\mathit{b}=\mathit{m}+\mathit{d}$$、$$\mathit{c}=\mathit{m}-\mathit{d}$$ だから$$\mathit{m}\cdot \mathit{d}=0,\mathrm{\mid }\mathit{m}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\mathit{d}{\mathrm{\mid }}^2=1.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}& {\displaystyle =(\mathit{b}-\mathit{a})\cdot (\mathit{c}-\mathit{a})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mathit{b}\cdot \mathit{c}-\mathit{a}\cdot (\mathit{b}+\mathit{c})+\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\mathrm{\mid }\mathit{m}{\mathrm{\mid }}^2-2\mathit{a}\cdot \mathit{m}\mathrm{.}}\end{array}$$$r=\mathrm{\mid }\mathit{m}\mathrm{\mid }$ とおくと$$0\leqq r\leqq 1,-r\leqq \mathit{a}\cdot \mathit{m}\leqq r\mathrm{.}$$よって、固定した $r$ に対する最大値と最小値は$$2r^2+2r,2r^2-2r$$である。したがって$$\underset{0\leqq r\leqq 1}{\max }(2r^2+2r)=4$$であり、$$2r^2-2r=2{(r-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{2}$$より最小値は $-1\mathrm{/}2$ である。

最大値4は $r=1$ かつ $\mathit{a}$ と $\mathit{m}$ が逆向き、すなわち $B=C$ が $A$ の対蹠点にあるときに達する。最小値は $r=1\mathrm{/}2$ かつ $\mathit{a}$ と $\mathit{m}$ が同じ向きのときに達する。

最小値を与える配置の一例

以上より$$\text{最大値 }4,\text{最小値 }-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$